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#include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 定义二维坐标点结构体 struct Point { double x; double y; }; // 计算三阶贝塞尔曲线上某个参数t对应的点坐标 Point getBezierPoint(vector<Point>& controlPoints, double t) { double x = pow((1 - t), 3) * controlPoints[0].x + 3 * t * pow((1 - t), 2) * controlPoints[1].x + 3 * pow(t, 2) * (1 - t) * controlPoints[2].x + pow(t, 3) * controlPoints[3].x; double y = pow((1 - t), 3) * controlPoints[0].y + 3 * t * pow((1 - t), 2) * controlPoints[1].y + 3 * pow(t, 2) * (1 - t) * controlPoints[2].y + pow(t, 3) * controlPoints[3].y; Point p = {x, y}; return p; } // 递归计算三阶贝塞尔曲线上的等间距点 void recursiveDivide(vector<Point>& controlPoints, double t0, double t1, vector<Point>& pointList, int& idx) { // 当参数范围小于1e-6时停止递归 if ((t1 - t0) < 1e-6) { return; } // 计算参数区间的中点 double tMid = (t0 + t1) / 2.0; // 计算中点对应的贝塞尔曲线上的坐标 Point pMid = getBezierPoint(controlPoints, tMid); // 将中点添加到结果列表中 pointList[idx++] = pMid; // 递归计算左右两段曲线上的等间距点 recursiveDivide(controlPoints, t0, tMid, pointList, idx); recursiveDivide(controlPoints, tMid, t1, pointList, idx); } int main() { // 定义控制点 vector<Point> controlPoints = {{10, 10}, {50, 60}, {100, 30}, {150, 150}}; // 定义采样个数 int N = 10; // 计算初始和末尾点 vector<Point> pointList(N + 1); pointList[0] = controlPoints.front(); pointList[N] = controlPoints.back(); // 递归计算曲线上的等间距点 int idx = 1; recursiveDivide(controlPoints, 0.0, 1.0, pointList, idx); // 输出等间距的点容器 for (auto& p : pointList) { cout << "(" << p.x << ", " << p.y << ")" << endl; } return 0; }
这是一个 C++ 的程序,用于计算三阶贝塞尔曲线上等间距的点。程序在 main
函数中运行,包含以下步骤:
controlPoints
中。N
,并将采样结果存储在一个二维向量 pointList
中。recursiveDivide
来计算贝塞尔曲线上的等间距点。该函数通过二分法的方式递归计算左右两个子区间的点,直到整个区间小于某个阈值。pointList
中的各个元素。请注意,贝塞尔曲线是一种可描述平滑曲线的数学模型,三阶贝塞尔曲线由四个控制点确定。对于任意参数 t ∈ [ 0 , 1 ] t \in [0, 1] t∈[0,1],三阶贝塞尔曲线上可以计算出对应的点坐标。本程序利用递归方式计算贝塞尔曲线上等间距的点坐标,主要涉及递归算法和贝塞尔曲线的基本原理。
3阶贝塞尔曲线沿线长等距分割方法可以简述如下:
对于3阶贝塞尔曲线,上述分割方法稍加简化后的具体计算方式如下:
L = ∫ 0 1 ( d x / d t ) 2 + ( d y / d t ) 2 d t L=\int_{0}^{1} \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt L=∫01(dx/dt)2+(dy/dt)2 dt
其中 d x / d t dx/dt dx/dt 和 d y / d t dy/dt dy/dt 的计算公式如下:
d x / d t = 3 ( 1 − t ) 2 ( x 1 − x 0 ) + 6 t ( 1 − t ) ( x 2 − x 1 ) + 3 t 2 ( x 3 − x 2 ) dx/dt=3(1-t)^2(x_1-x_0)+6t(1-t)(x_2-x_1)+3t^2(x_3-x_2) dx/dt=3(1−t)2(x1−x0)+6t(1−t)(x2−x1)+3t2(x3−x2)
d y / d t = 3 ( 1 − t ) 2 ( y 1 − y 0 ) + 6 t ( 1 − t ) ( y 2 − y 1 ) + 3 t 2 ( y 3 − y 2 ) dy/dt=3(1-t)^2(y_1-y_0)+6t(1-t)(y_2-y_1)+3t^2(y_3-y_2) dy/dt=3(1−t)2(y1−y0)+6t(1−t)(y2−y1)+3t2(y3−y2)
其中 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)、 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)、 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)、 ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3,y3) 为3阶贝塞尔曲线的4个控制点坐标。
根据采样点数 N N N,计算出采样点的间隔 s = L / ( N − 1 ) s=L/(N-1) s=L/(N−1)。
初始化采样点列表,包括起始点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 和终止点 ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3,y3) 并将起始点和终止点的参数值分别设为 t 0 = 0 t_0=0 t0=0 和 t N = 1 t_N=1 tN=1。
对于 i ∈ [ 1 , N − 1 ] i \in [1,N-1] i∈[1,N−1],通过二分法计算出满足以下条件的 t i t_i ti:
∫ t 0 t i ( d x / d t ) 2 + ( d y / d t ) 2 d t = i × s \int_{t_0}^{t_i} \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt = i \times s ∫t0ti(dx/dt)2+(dy/dt)2 dt=i×s
其中 ( d x / d t ) 2 + ( d y / d t ) 2 \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} (dx/dt)2+(dy/dt)2 的计算公式如上。然后根据 t i t_i ti 计算出曲线上对应的点坐标,即 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)。
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