【矩阵论】3. 矩阵函数——矩阵函数求导

矩阵论的所有文章，主要内容参考北航赵迪老师的课件

[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

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3.6 矩阵函数求导

3.6.1 积分与求导定义

设 $m\times n$ 阶矩阵 $A(x)={\left(a_{ij}(x)\right)}_{m\times n}$ 中的元素都是 x 的可导函数，则 $A(x)$ 为关于 $x$ 的求导为：
$$A^{\prime }(x)=\frac{dA(x)}{dx}={\left(\frac{d{a}_{ij}(x)}{dx}\right)}_{m\times n}$$

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设 $A(x)={\left(a_{ij}(x)\right)}_{m\times n}$ 的元素在区间 $[a,b]$ 连续，在区间 $[a,b]$ 上的积分记为
$${\int }_a^{b}A(x)dx={\int }_a^b{\left(a_{ij}(x)dx\right)}_{m\times n}$$
eg

3.6.2 运算性质

1. 若 $A^{\prime }(x)=\frac{dA(x)}{dx}\equiv 0$ $⟺$ $A(x)=D(常数矩阵)$

2. 求和求导：设 $A(x)=(a_{ij}(x){)}_{n\times n}$ ，$B(x)=(b_{ij}(x){)}_{n\times n}$ 在区间 $[a,b]$ 可到，则有 $\frac{d(A(x)+B(x))}{dx}=\frac{dA(x)}{dx}+\frac{dB(x)}{dx}=A^{\prime }(x)+B^{\prime }(x)$

3. 乘积求导：

   

4. 参数化：

   

5. 求和积分：
   

6. 积分倍乘：
   

7. 

8. N-L公式
   

9. 逆阵求导：
   

3.6.3 讨论含参阵的求导

3.6.4 3个含参矩阵函数的求导

对于三个矩阵函数 $f(tA)=e^{tA},cos(tA),sin(tA)$ ，设方阵 $A\in C^{n\times n}$ ，则有求导公式
d e t A d t = A e t A d ( s i n ( t A ) ) d t = A c o s ( t A ) d c o s ( t A ) d t = − A s i n ( t A )

$$\begin{aligned} &\frac{de^{tA}}{dt}=Ae^{tA}\\ &\frac{d(sin(tA))}{dt}=Acos(tA)\\ &\frac{dcos(tA)}{dt}=-Asin(tA) \end{aligned}$$ ​dtdetA​=AetAdtd(sin(tA))​=Acos(tA)dtdcos(tA)​=−Asin(tA)​

SP

d e − t A d t = − A e − t A d [ e − t A X ( t ) ] d t = X ′ ( t ) e − t A − A X ( t ) e − t A

$$\begin{aligned} &\frac{de^{-tA}}{dt}=-Ae^{-tA}\\ &\frac{d[e^{-tA}X(t)]}{dt}=X'(t)e^{-tA}-AX(t)e^{-tA} \end{aligned}$$ ​dtde−tA​=−Ae−tAdtd[e−tAX(t)]​=X′(t)e−tA−AX(t)e−tA​

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由欧拉公式

$$\begin{gathered} e^{tx}=costx+isintx,e^{-tx}=costx-isintx \\ cos(tx)=\frac{e^{itx}+e^{-itx}}{2},sin(tx)=\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{dcos(tA)}{dt}=\frac{1}{2}(e^{itA}iA-iA{e}^{-itA})=\frac{i^2}{2i}A(e^{itA}-e^{-itA})=-\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i}A=-Asin(tA) \\ \frac{dsin(tA)}{dt}=\frac{1}{2i}(e^{itA}iA+iA{e}^{-itA})=\frac{i}{2i}A(e^{itA}+e^{-itA})=\frac{e^{itA}+e^{-itA}}{2}A=Asin(tA) \end{gathered}$$

3.6.5 对于 $W(t)=f(tA)$ 求导

若已知 $W(t)=f(tA)$ ，两边求导 $\frac{df(tA)}{dt}=\frac{dW(t)}{dt}\Rightarrow W^{\prime }(t)=A{f}^{\prime }(tA)$

• 令 $t=0$ ，可得 $W^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)A$

若 $W(t)=e^{tA}$ ，两边求导 $\frac{dW(t)}{dt}=\frac{d(e^{tA})}{dt}\Rightarrow W^{\prime }(t)=A{e}^{tA}$

• 令 $t=0$ ，可得 $W^{\prime }(0)=A$

eg

d e t A d t = ( ( c o s a t ) ′ ( − s i n a t ) ′ ( s i n a t ) ′ ( c o s a t ) ′ ) = ( − a s i n a t − a c o s a t a c o s a t − a s i n a t ) 令 t = 0 , 得 A = ( 0 − a a 0 )

$$\begin{aligned} &\frac{de^{tA}}{dt}=\left( \begin{matrix} (cosat)'&(-sinat)'\\(sinat)'&(cosat)' \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -asinat&-acosat\\acosat&-asinat \end{matrix} \right)\\ &令t=0,得A=\left( \begin{matrix} 0&-a\\a&0 \end{matrix} \right) \end{aligned}$$ ​dtdetA​=((cosat)′(sinat)′​(−sinat)′(cosat)′​)=(−asinatacosat​−acosat−asinat​)令t=0,得A=(0a​−a0​)​

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令 e t A = e 2 t B , 则 ( e t A ) ′ = ( e 2 t B ) ′ = 2 e 2 t B + e 2 t B ′ = 2 e 2 t ( 1 0 0 t 1 − t t t − t 1 + t ) + e 2 t ( 0 0 0 1 − 1 1 1 − 1 1 ) = e 2 t ( 2 0 0 2 t + 1 1 − 2 t 2 t + 1 2 t + 1 − 2 t − 1 3 + 2 t ) 由于 ( e t A ) ′ = A e t A , 若 t = 0 ，可得 A = ( e t A ) ′ , 代入的 A = ( 2 0 0 1 1 1 1 − 1 3 )

$$\begin{aligned} &令e^{tA}=e^{2t}B,则(e^{tA})'=(e^{2t}B)'=2e^{2t}B+e^{2t}B'=2e^{2t}\left( \begin{matrix} 1&0&0\\t&1-t&t\\t&-t&1+t \end{matrix} \right)+e^{2t}\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)\\ &=e^{2t}\left( \begin{matrix} 2&0&0\\2t+1&1-2t&2t+1\\2t+1&-2t-1&3+2t \end{matrix} \right)\\ &由于(e^{tA})'=Ae^{tA},若t=0，可得A=(e^{tA})',代入的A=\left( \begin{matrix} 2&0&0\\1&1&1\\1&-1&3 \end{matrix} \right) \end{aligned}$$ ​令etA=e2tB,则(etA)′=(e2tB)′=2e2tB+e2tB′=2e2t ​1tt​01−t−t​0t1+t​ ​+e2t ​011​0−1−1​011​ ​=e2t ​22t+12t+1​01−2t−2t−1​02t+13+2t​ ​由于(etA)′=AetA,若t=0，可得A=(etA)′,代入的A= ​211​01−1​013​ ​​

3.7 一阶线性常系数微分方程组

对于一阶线性常系数微分方程，有 { d x 1 ( t ) d t = a 11 x 1 ( t ) + ⋯ + a 1 n x n ( t ) + f 1 ( t ) ⋮ d x n ( t ) d t = a n 1 x 1 ( t ) + ⋯ + a n n x n ( t ) + f n ( t ) , 满足 x i ( t 0 ) = c i , i = 1 , ⋯   , n 若令 A = ( a i j ) n × n , c ⃗ = ( c 1 ⋮ c n ) ， x ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) ) , f ( t ) = ( f 1 ( t ) ⋮ f n ( t ) ) 可表示为 { d x ( t ) d t = A x ( t ) + f ( t ) x ( t = 0 ) = c ⃗ , 其中 f ( t ) 为非齐次项 若 f ( t ) = ( f 1 ( t ) ⋮ f n ( t ) ) = 0 ⃗ , 可得齐次微分方程， { d x ( t ) d t = A x ( t ) x ( t = 0 ) = c ⃗

$$\begin{aligned} &对于一阶线性常系数微分方程，有\left\{ \begin{aligned} \frac{dx_1(t)}{dt}&=a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)+f_1(t)\\ &\vdots\\ \frac{dx_n(t)}{dt}&=a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)+f_n(t)\\ \end{aligned}$$ \right. ,满足x_i(t_0)=c_i,i=1,\cdots,n\\ &若令A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},\vec{c}=\left( $$\begin{matrix} c_1\\\vdots\\c_n \end{matrix}$$ \right)，x(t)=\left( $$\begin{matrix} x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{matrix}$$ \right),f(t)=\left( $$\begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix}$$ \right)\\ &可表示为\left\{ $$\begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+f(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned}$$ \right.,其中f(t)为非齐次项\\ &若f(t)=\left( $$\begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix}$$ \right)=\vec{0},可得齐次微分方程，\left\{ $$\begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned}$$ \right. \end{aligned} ​对于一阶线性常系数微分方程，有⎩ ⎨ ⎧​dtdx1​(t)​dtdxn​(t)​​=a11​x1​(t)+⋯+a1n​xn​(t)+f1​(t)⋮=an1​x1​(t)+⋯+ann​xn​(t)+fn​(t)​,满足xi​(t0​)=ci​,i=1,⋯,n若令A=(aij​)n×n​,c = ​c1​⋮cn​​ ​，x(t)= ​x1​(t)x2​(t)⋮xn​(t)​ ​,f(t)= ​f1​(t)⋮fn​(t)​ ​可表示为⎩ ⎨ ⎧​​dtdx(t)​=Ax(t)+f(t)x(t=0)=c ​,其中f(t)为非齐次项若f(t)= ​f1​(t)⋮fn​(t)​ ​=0 ,可得齐次微分方程，⎩ ⎨ ⎧​​dtdx(t)​=Ax(t)x(t=0)=c ​​

$$若\frac{dA(t)}{dt}=A^{\prime }(t)\equiv 0,则A(t)\equiv 0$$

3.7.1 求解齐次方程组

a. 一阶微分

$$齐次方程组\frac{dA(t)}{dt}=Ax有唯一解公式:x=e^{At}\vec{c}，即x=e^{At}x(0)$$

eg

( 1 ) 求 e t A A − I = ( − 4 4 2 − 2 2 1 − 2 2 1 ) = ( 2 1 1 ) ( − 2 , 2 , 1 ) , r ( A − I ) = 1 , 且 λ ( A − I ) = { − 1 , 0 , 0 } ⇒ λ ( A ) = { 0 , 1 , 1 } 对于 2 重根 λ 2 = 1 , 有 r ( A − I ) = 3 − 2 = 1 , 故 A 为单阵 A 有谱分解， A = λ 1 G 1 + λ 2 G 2 ，令 f ( x ) = e t x , f ( λ 1 ) = e 0 = 1 , f ( λ 2 ) = e t ⋅ 1 = e t , G 1 = A − λ 2 I λ 1 − λ 2 = I − A , G 2 = A − λ 1 I λ 2 − λ 1 = A e t A = f ( λ 1 ) G 1 + f ( λ 2 ) G 2 = G 1 + e t G 2 = I − A + e t A = I + ( e t − 1 ) A = ( 4 − 3 e t 4 e t − 4 2 e t − 2 2 − 2 e t 3 e t − 2 e t − 1 2 − 2 e t 2 e t − 2 2 e t − 1 ) ( 2 ) 求齐次线性方程的解 X = e t A c ⃗ = ( 4 − 3 e t 4 e t − 4 2 e t − 2 2 − 2 e t 3 e t − 2 e t − 1 2 − 2 e t 2 e t − 2 2 e t − 1 ) ( 0 1 0 ) = ( 4 e t − 4 3 e t − 2 2 e t − 2 ) ( 3 ) 代入 t = 0 检验 , X ( 0 ) = ( 0 1 0 ) = c ⃗

$$\begin{aligned} &(1)求e^{tA}\\ &A-I=\left( \begin{matrix} -4&4&2\\-2&2&1\\-2&2&1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2\\1\\1 \end{matrix} \right)(-2,2,1),r(A-I)=1,且\lambda(A-I)=\{-1,0,0\}\Rightarrow \lambda(A)=\{0,1,1\}\\ &对于2重根\lambda_2=1,有r(A-I)=3-2=1,故A为单阵\\ &A有谱分解，A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2，令f(x)=e^{tx},f(\lambda_1)=e^{0}=1,f(\lambda_2)=e^{t\cdot1}=e^t,G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=I-A,G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=A\\ &e^{tA}=f(\lambda_1)G_1+f(\lambda_2)G_2=G_1+e^tG_2=I-A+e^tA=I+(e^t-1)A=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\\ &(2)求齐次线性方程的解X=e^{tA}\vec{c}=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4e^t-4\\3e^t-2\\2e^t-2 \end{matrix} \right)\\ &(3)代入t=0检验,X(0)=\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\vec{c} \end{aligned}$$ ​(1)求etAA−I= ​−4−2−2​422​211​ ​= ​211​ ​(−2,2,1),r(A−I)=1,且λ(A−I)={−1,0,0}⇒λ(A)={0,1,1}对于2重根λ2​=1,有r(A−I)=3−2=1,故A为单阵A有谱分解，A=λ1​G1​+λ2​G2​，令f(x)=etx,f(λ1​)=e0=1,f(λ2​)=et⋅1=et,G1​=λ1​−λ2​A−λ2​I​=I−A,G2​=λ2​−λ1​A−λ1​I​=AetA=f(λ1​)G1​+f(λ2​)G2​=G1​+etG2​=I−A+etA=I+(et−1)A= ​4−3et2−2et2−2et​4et−43et−22et−2​2et−2et−12et−1​ ​(2)求齐次线性方程的解X=etAc = ​4−3et2−2et2−2et​4et−43et−22et−2​2et−2et−12et−1​ ​ ​010​ ​= ​4et−43et−22et−2​ ​(3)代入t=0检验,X(0)= ​010​ ​=c ​

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令 A = ( 3 − 1 1 1 ) , X = ( x y ) , 可写方程 d X d t = A X , 通解公式为 X = e t A c ⃗ , c ⃗ t = 0 = ( c 1 c 2 ) ( 1 ) A 为行和矩阵， λ ( A ) = { 2 , t r ( A ) − 2 } = { 2 , 2 } , A − 2 I = ( 1 − 1 1 − 1 ) , r ( A − 2 I ) = 1 ≠ 2 − 2 = 0 A 不是单阵， ( A − 2 I ) 2 = 0 , 故由平移幂 0 阵可写解析函数 f ( x ) = f ( 2 ) + f ′ ( 2 ) ( A − 2 I ) 矩阵函数为 f ( A ) = f ( 2 ) I + f ′ ( 2 ) ( A − 2 I ) 令 f ( A ) = e t x , f ( 2 ) = e 2 t , f ′ ( 2 ) = t e 2 t , 则 e t A = e 2 t I + t e 2 t ( A − 2 I ) = e 2 t [ I + t ( A − 2 I ) ] = e 2 t [ ( 1 1 ) + ( t − t t − t ) ] = e 2 t ( 1 + t − t t 1 − t ) ( 2 ) 求通解 X = e t A C = e 2 t ( 1 + t − t t 1 − t ) ( c 1 c 2 ) = e 2 t ( ( 1 + t ) c 1 − t c 2 t c 1 + ( 1 − t ) c 2 ) { x = e 2 t [ ( 1 + t ) c 1 − t c 2 ] y = e 2 t [ t c 1 + ( 1 − t ) c 2 ] , c 1 , c 2 为任意常数

$$\begin{aligned} &令A=\left( \begin{matrix} 3&-1\\1&1 \end{matrix} \right),X=\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right),可写方程\frac{dX}{dt}=AX,通解公式为X=e^{tA}\vec{c},\vec{c}_{t=0}=\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)\\ &(1)A为行和矩阵，\lambda(A)=\{2,tr(A)-2\}=\{2,2\},A-2I=\left( \begin{matrix} 1&-1\\1&-1 \end{matrix} \right),r(A-2I)=1\neq2-2=0\\ &\quad A不是单阵，(A-2I)^2=0,故由平移幂0阵可写解析函数f(x)=f(2)+f'(2)(A-2I)\\ &\quad 矩阵函数为f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)\\ &\quad 令f(A)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},则e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)=e^{2t}\left[ I+t(A-2I) \right]=e^{2t}\left[ \left( \begin{matrix} 1&\\&1 \end{matrix} \right)+\begin{aligned} \left( \begin{matrix} t&-t\\t&-t \end{matrix} \right) \end{aligned}$$ \right]=e^{2t}\left( $$\begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix}$$ \right)\\ &(2) 求通解X=e^{tA}C=e^{2t}\left( $$\begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix}$$ \right)\left( $$\begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix}$$ \right)=e^{2t}\left( $$\begin{matrix} (1+t)c_1-tc_2\\tc_1+(1-t)c_2 \end{matrix}$$ \right)\\ &\quad \left\{ $$\begin{aligned} &x=e^{2t}[(1+t)c_1-tc_2]\\ &y=e^{2t}[tc_1+(1-t)c_2] \end{aligned}$$ \right.,c_1,c_2为任意常数 \end{aligned} ​令A=(31​−11​),X=(xy​),可写方程dtdX​=AX,通解公式为X=etAc ,c t=0​=(c1​c2​​)(1)A为行和矩阵，λ(A)={2,tr(A)−2}={2,2},A−2I=(11​−1−1​),r(A−2I)=1=2−2=0A不是单阵，(A−2I)2=0,故由平移幂0阵可写解析函数f(x)=f(2)+f′(2)(A−2I)矩阵函数为f(A)=f(2)I+f′(2)(A−2I)令f(A)=etx,f(2)=e2t,f′(2)=te2t,则etA=e2tI+te2t(A−2I)=e2t[I+t(A−2I)]=e2t[(1​1​)+(tt​−t−t​)​]=e2t(1+tt​−t1−t​)(2)求通解X=etAC=e2t(1+tt​−t1−t​)(c1​c2​​)=e2t((1+t)c1​−tc2​tc1​+(1−t)c2​​){​x=e2t[(1+t)c1​−tc2​]y=e2t[tc1​+(1−t)c2​]​,c1​,c2​为任意常数​

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二阶微分

令 y = x ′ = x ′ ( t ) , 可写方程组 { d x d t = y d y d t = − x    ⟺    { d d t ( x y ) = ( 0 1 − 1 0 ) ( x y ) 令 X = ( x y ) , A = ( 0 1 − 1 0 ) ⇒ d X d t = A X 通解公式为 e t A c ⃗ t = 0 , c ⃗ t = 0 = ( c 1 c 2 ) ⇒ e t A = ( c o s t s i n t − s i n t c o s t ) 可知 X = e t A C = ( c o s t s i n t − s i n t c o s t ) ( c 1 c 2 ) = ( c 1 c o s t + c 2 s i n t c 2 c o s t − c 1 s i n t ) ，故原方程通解 x = c 1 c o s t + c 2 s i n t

$$\begin{aligned} &令y=x'=x'(t),可写方程组\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx}{dt}=y\\ &\frac{dy}{dt}=-x \end{aligned}$$ \right.\iff \left\{ \frac{d}{dt}\left( $$\begin{matrix} x\\y \end{matrix}$$ \right) \right.=\left( $$\begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix}$$ \right)\left( $$\begin{matrix} x\\y \end{matrix}$$ \right)\\ &令X=\left( $$\begin{matrix} x\\y \end{matrix}$$ \right),A=\left( $$\begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix}$$ \right)\Rightarrow \frac{dX}{dt}=AX\\ &通解公式为 e^{tA}\vec{c}_{t=0},\vec{c}_{t=0}=\left( $$\begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix}$$ \right)\Rightarrow e^{tA}=\left( $$\begin{matrix} cost&sint\\-sint&cost \end{matrix}$$ \right)\\ &可知X=e^{tA}C=\left( $$\begin{matrix} cost&sint\\-sint&cost \end{matrix}$$ \right)\left( $$\begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix}$$ \right)=\left( $$\begin{matrix} c_1cost+c_2sint\\c_2cost-c_1sint \end{matrix}$$ \right)，故原方程通解x=c_1cost+c_2sint \end{aligned} ​令y=x′=x′(t),可写方程组⎩ ⎨ ⎧​​dtdx​=ydtdy​=−x​⟺{dtd​(xy​)=(0−1​10​)(xy​)令X=(xy​),A=(0−1​10​)⇒dtdX​=AX通解公式为etAc t=0​,c t=0​=(c1​c2​​)⇒etA=(cost−sint​sintcost​)可知X=etAC=(cost−sint​sintcost​)(c1​c2​​)=(c1​cost+c2​sintc2​cost−c1​sint​)，故原方程通解x=c1​cost+c2​sint​

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x ′ ′ = − a 2 x , 令 { x ′ = a y ( t ) y ′ ( t ) = − a x ( a y ′ ( t ) = − a 2 x = x 2 ) , 即 d X d t = A X , A = { 0 a − a 0 } , X = ( x y ) 通解为 X = e t A C , 其中 e t A = e ( 0 a t − a t 0 ) = ( c o s a t s i n a t − s i n a t c o s a t ) , 设 C = ( c 1 c 2 ) X = e t A C = ( c o s a t s i n a t − s i n a t c o s a t ) ( c 1 c 2 ) = ( c 1 c o s a t + c 2 s i n a t c 2 c o s a t − c 1 s i n a t )

$$\begin{aligned} &x''=-a^2x,令\left\{ \begin{aligned} &x'=ay(t)\\ &y'(t)=-ax&(ay'(t)=-a^{2}x=x^2) \end{aligned}$$ \right.,即\frac{dX}{dt}=AX,A=\left\{ $$\begin{matrix} 0&a\\-a&0 \end{matrix}$$ \right\},X=\left( $$\begin{matrix} x\\y \end{matrix}$$ \right)\\ &通解为 X=e^{tA}C,其中e^{tA}=e^{\left( $$\begin{matrix} 0&at\\-at&0 \end{matrix}$$ \right)}=\left( $$\begin{matrix} cosat&sinat\\-sinat&cosat \end{matrix}$$ \right),设C=\left( $$\begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix}$$ \right)\\ &X=e^{tA}C=\left( $$\begin{matrix} cosat&sinat\\-sinat&cosat \end{matrix}$$ \right)\left( $$\begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix}$$ \right)=\left( $$\begin{matrix} c_1cosat+c_2sinat\\ c_2cosat-c_1sinat \end{matrix}$$ \right) \end{aligned} ​x′′=−a2x,令{​x′=ay(t)y′(t)=−ax​(ay′(t)=−a2x=x2)​,即dtdX​=AX,A={0−a​a0​},X=(xy​)通解为X=etAC,其中etA=e(0−at​at0​)=(cosat−sinat​sinatcosat​),设C=(c1​c2​​)X=etAC=(cosat−sinat​sinatcosat​)(c1​c2​​)=(c1​cosat+c2​sinatc2​cosat−c1​sinat​)​