【集合论】序关系 ( 偏序集元素之间的关系 | 可比 | 严格小于 | 覆盖 | 哈斯图 )_\preccurlyeq的数学符号表示什么

一、可比

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可比 :

$A$ 集合 , 该集合上存在 偏序关系 $\preccurlyeq$ 小于等于 ,

偏序集 是 集合 和 偏序关系 组成的有序对 $<A,\preccurlyeq >$ ,

$x,y$ 是 $A$ 集合中的两个元素 , $x,y\in A$ ,

要么是 $x\preccurlyeq y$ , 要么就是 $y\preccurlyeq x$ , 符号化表示是 $x\preccurlyeq y\vee y\preccurlyeq x$ , 两种情况必选其一 ,

则称 $x$ 与 $y$ 是可比的 ;

只要 $x,y$ 之间 存在偏序关系 , 不管谁在前 , 谁在后 , 都 统一称 $x$ 与 $y$ 是可比的 ;

二、严格小于

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严格小于 概念需要基于 可比概念

严格小于 :

$A$ 集合 与 $A$ 上偏序关系 $\preccurlyeq$ , 组成 偏序集 $<A,\preccurlyeq >$ ,

$x,y$ 是 $A$ 集合中的两个元素 , $x,y\in A$ ,

如果 $x,y$ 是可比的 ( $x,y$ 之间存在偏序关系 ) , 但是 $x$ 与 $y$ 不相等 , 则称 $x$ 严格小于 $y$ ;

符号化表示 : $x\preccurlyeq y\wedge x\ne y\iff x\prec y$

三、覆盖

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覆盖 概念需要基于 严格小于概念

覆盖 :

$A$ 集合 与 $A$ 上偏序关系 $\preccurlyeq$ , 组成 偏序集 $<A,\preccurlyeq >$ ,

$x,y,z$ 是 $A$ 集合中的元素 , $x,y,z\in A$ ,

$x$ 严格小于 $y$ , $x\prec y$ ,

不存在 $z$ , 使 $x$ 严格小于 $z$ , 并且 $z$ 严格小于 $y$ ,

则称 $y$ 覆盖 $x$ ; ( 注意是 大 覆盖 小 )

偏序关系中 大 覆盖 小

符号化表示 : $x\prec y\wedge \neg \exists z(z\in A\wedge x\prec y\prec z)$

四、哈斯图

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$A$ 集合 与 $A$ 上偏序关系 $\preccurlyeq$ , 组成 偏序集 $<A,\preccurlyeq >$ ,

$x,y$ 是 $A$ 集合中的两个元素 , $x,y\in A$ ,

哈斯图 :

① 顶点 : 使用 顶点 表示 $A$ 集合中的元素 ;

② 无向边 : 当且仅当 $y$ 覆盖 $x$ 时 , $y$ 顶点在 $x$ 顶点 上方 , 并且在 $x$ 顶点 与 $y$ 顶点之间 绘制一条 无向边 ;

上图是 $6$ 元集 上的偏序关系 $\preccurlyeq$

$A$ 元素比 $B,C,D$ 元素都小

偏序关系是传递的 , $A$ 比 $B$ 小 , $B$ 比 $F$ 小 , 因此 $A$ 比 $F$ 小

最下面的元素 $A$ 是最小的 , 所有的元素都比 $A$ 大 ( 包括 $A$ , 偏序关系是自反的 )

最上面的元素 $F$ 是最大的 , 所有的元素都比 $F$ 小 ( 包括 $F$ , 偏序关系是自反的 )

$BCDE$ 四个元素互相都不可比

哈斯图 与 关系图对比 省略的内容 :

① 环 : 偏序关系是自反的 , 因此 每个顶点上都有环 , 可以省略掉环

② 箭头 : 偏序关系是反对称的 , 因此 两个顶点两两之间肯定没有双向边 , 都是单向边 , 因此可以省略箭头方向

③ 默认方向 : 使用上下位置表示箭头的方向 , 箭头默认向上 , 偏序是 小于等于 , 最小的在最小面, 最大的在最上面 ;