欧拉角(定义解释，使用，优缺点)_欧拉角和固定角的缺点

欧拉角

欧拉角有不同的命名：

Yaw-Pitch-Roll与Heading-Pitch-Bank是相同的系统。
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固定轴(Fixed-Axis)系统与欧拉角系统密切相关。在欧拉角系统中，旋转围绕体轴(Body Axis)发生，体轴在每次旋转后发生变化。例如,滚转角的物理轴总是纵向的体空间轴,但是通常它是在直立空间中任意取向的。相反,在固定轴系统中,旋转轴始终是固定的直立轴(Upright Axis)。但事实证明,固定轴系统和欧拉角系统实际上是等效的,只要以相反的顺序进行旋转。你应该可视化以下示例以说服自己这是真的。假设航向（偏航)角为h，俯仰角为p(这里暂时忽略滚转角)。根据欧拉角的约定，首先进行航向轴的旋转并绕垂直轴(y轴)旋转h,然后围绕对象空间的横向轴(x轴)旋转角度p。使用固定轴方案,可以通过按相反的顺序进行旋转来获得相同的结束方向。首先，执行俯仰角的旋转，围绕直立的x轴旋转p。然后,执行航向旋转,围绕直立的y轴旋转h。虽然在计算里,当我们正在将矢量从直立空间旋转到对象空间时,可以可视化欧拉角,但实际上使用的是固定轴系统。在第8.7.1节中将更详细地讨论这个问题(并且会演示如何将欧拉角变换为旋转矩阵）。固定轴约定也称为外旋(Extrinsic Rotation),而典型的欧拉角约定则被称为内旋(Intrinsic Rotation)。

欧拉角的优势：

1. 欧拉角使用尽可能最小的表示。欧拉角仅使用3个数字来描述定向。没有任何其他系统可以使用少于 3 个数字来设置三维定向的参数。如果内存是需要优先考虑的事项，那么欧拉角是表示定向的最经济的方式。当你需要节省空间时,选择欧拉角的另一个原因是,存储的数字更容易压缩。使用普通的固定精度系统将欧拉角度打包成较小的位数相对容易。由于欧拉角是角度，因量化引起的数据丢失会均匀分布。矩阵和四元数要求使用非常小的数字，因为它们存储的值是角度的正弦和余弦。但是，这两个值之间的绝对数值差异即使很小,其感知差异也很大,而使用欧拉角度则不会出现这种情况。一般来说，矩阵和四元数不容易打包到定点系统中。底线:如果你需要在尽可能少的内存中存储大量的三维旋转数据(这在处理动画数据时非常常见），那么欧拉角（或指数映射格式——将在第8.4 节中讨论）将是最佳选择。
2. 欧拉角易于人类使用–它比矩阵或四元数更容易匹配人类的思考或想象(可视化)。也许是因为欧拉角三元组中的数字都是角度，而这正是人们思考定向的自然方式。如果选择了最适合情况的约定,则可以直接表示最实用的角度。例如，倾斜角度就可以直接由航向-俯仰-滚转系统表示。这种易用性是一个重要的优势。当一个定向需要以数字方式显示或通过键盘输入时,欧拉角确实是唯一的选择。
3. 任何一组 3 个数字都有效。如果随机取 3 个数字，它们就形成了一组有效的欧拉角参数，我们可以将它解释为某个定向的表达式。换句话说，没有一组无效

缺点：

1. 给定定向的表示不是唯一的。
2. 两个定向之间的插值是有问题的。

缺点一的解决方案：为了保证任何给定方向的唯一欧拉角表示,我们限制了角度的范围。一种常见的技术是将航向角和滚转角限制为(-180°,+180°]并将俯仰角限制为[-90°,+90°]。

万向节死锁 规范范围

轴-角和指数映射表示方式

欧拉旋转定理导致了两种密切相关的描述定向的方法。让我们从一些符号开始。假设选择了旋转角 θ 和穿过原点的旋转轴并且平行于单位矢量分。在本书中，正旋转是根据左手规则定义的，参见第 1.3.3 节。以两个值i和0为原理,我们描述了轴-角(Axis-Angle)形式的角位移。或者,由于f 具有单位长度，我们可以将其乘以 8 而不会丢失信息，从而产生单个矢量 e = θ。这种描述旋转的方案是由**指数映射(Exponential Map)**的相当令人生畏和模糊的名称进行的。①旋转角度可以从e的长度推导出来。换句话说，0=||e||，并且可以通过归一化e来获得轴。指数映射不仅比轴-角更紧凑(3个数字而不是4个),它优雅地避免了某些奇点并具有更好的插值和微分特性。

事实证明,给定任何可以通过旋转矩阵描述的角位移,指数映射表示是唯一确定的。虽然不止一个指数映射可以产生相同的旋转矩阵,但是可以获取指数映射的子集(即e1<2pi)的指数映射)并且与旋转矩阵形成一对一的对应关系。这是欧拉旋转定理的本质。