浅尝KNN（K-Nearest Neighbors，K近邻算法）_最近邻算法是k近邻算法的特例,这种算法容易产生过拟和还是欠拟和为什么

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前言

当下，机器学习已经成为了一个非常热门的领域，其中分类算法是机器学习中最常见的问题之一。KNN（K-Nearest Neighbors，K近邻算法）是一种基本的分类和回归算法，它的核心思想是基于样本之间的距离度量来进行分类或回归，是一种常用的监督学习方法。

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一、KNN的原理（近朱者赤，近墨者黑）

正如本章标题所说，近朱者赤，近墨者黑，通俗易懂。

具体文字说明：对于一个新的给定的测试样本，KNN 算法首先计算该样本与训练数据集中所有样本的距离（或者其它某种度量），然后选择与该样本距离最近的 K 个样本（即 K 个最近邻），并根据这 K 个样本的类别标签来预测该样本的类别，即这K个样本中出现最多的类别标记作为预测结果。其中，K是由n_neighbors参数来调节。

在回归任务中可使用“平均法”，即将这个k个样本的实值输出标记的平均值作为预测结果。还可以基于距离远近进行加权平均，距离越近的样本权重越大。

下面用图示再说明knn的算法原理：

如上图所示，有两类不同的样本数据，蓝色正方形和红色三角形两个分类，现要用knn判定绿色的圆（即待分类的数据）属于什么分类。

当取k=3时（第一个圆的范围），绿色圆点的最邻近的3个点是2个红色小三角形和1个蓝色小正方形，少数从属于多数，近红色的三角形，判定绿色的这个待分类点属于红色的三角形一类。
当取k=5时（第二个圆的范围），绿色圆点的最邻近的5个点是2个红色小三角形和3个蓝色小正方形，少数从属于多数，近蓝色的正方形，判定绿色的这个待分类点属于蓝色的正方形一类。

KNN 算法的原理非常简单，它不需要进行模型训练，因此非常适合小规模数据集的分类。

二、K值的选取

上述原理我们已经懂了。看似简单，然而k值的选取却并不简单。KNN 算法对于样本之间的距离度量和 K 值的选择非常敏感。

举个例子，倘若我们选取K=1，此时就出现了“一叶障目，不见泰山”的现象，这个邻居可能是一个孤立的点，它的分类可能是错误的。这种情况下，算法容易受到噪声的影响，导致分类错误率较高。

另一方面，如果我们选取的K值过大，比如K=100，那么算法会选择很多邻居，这些邻居可能包含了来自不同类别的数据点，导致分类结果不够准确。在这种情况下，算法容易受到过拟合的影响，导致分类错误率也较高。

总结一下，K值的大小决定了模型的复杂度。k太小，模型会过于关注局部的细节，可能会导致模型过于复杂，容易受到噪声的干扰，从而出现过拟合容易过拟合拟合；k太大，算法会选择更多的邻居来进行分类，这可能会导致模型过于简单，出现欠拟合的情况。具体来说，当K值很大的时候，模型会过于关注全局的特征，而忽略了样本之间的局部差异，从而导致模型泛化能力较差，无法很好地适应训练集以外的数据。

因此，K值的选取需要根据具体的数据集和问题来确定，需要在准确性和鲁棒性之间进行权衡。
实践中，我们通常需要通过交叉验证等方法来选择合适的K值，以获得更好的模型性能。

三、样本距离度量的选择

在K近邻算法中，样本距离度量的选择对分类结果有很大的影响。不同的距离度量方法会导致不同的距离计算方式，进而影响到K近邻算法的预测精度和鲁棒性。

以下是几种常见的距离度量方法及其影响：

1. 欧氏距离：欧氏距离是最常用的距离度量方法，它是基于欧几里得空间中两点之间的距离计算的。欧氏距离对于数据空间的分布较为均匀的情况下表现较好，但对于不均匀分布的数据则可能导致分类错误。公式如下：
   

2. 曼哈顿距离：曼哈顿距离是基于曼哈顿街区中两点之间的距离计算的。它可以在某些情况下比欧氏距离更为准确，尤其是在高维空间中。但在某些数据集上，曼哈顿距离可能表现不佳。
   

3. 切比雪夫距离：切比雪夫距离是基于两点坐标轴上距离的最大值计算的。它对于处理高维数据和稀疏数据具有很好的性能，但在处理密集数据时可能不如欧氏距离表现好。
   

4. 余弦相似度：余弦相似度是一种基于向量之间的夹角计算的距离度量方法。它对于处理文本分类和图像分类等任务具有很好的性能，但不适用于处理具有方向性的数据。
   

因此，选择合适的距离度量方法对于K近邻算法的性能至关重要。在实践中，我们通常需要根据具体的数据集和问题来选择合适的距离度量方法。

四、KNN的具体实现步骤

KNN 算法的实现步骤如下：

1.选择 K 值。K 值表示选择多少个最近邻，通常需要通过交叉验证等方法进行调参。

2.计算新样本与训练数据集中所有样本之间的距离。常见的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离等。

3.选择与新样本距离最近的 K 个样本。这里需要对距离进行排序，选取距离最近的 K 个样本。

4.根据这 K 个样本的类别标签来预测新样本的类别或数值。在分类问题中，可以使用投票法来确定新样本的类别；在回归问题中，可以使用平均法来预测新样本的数值。

五、KNN算法的Python实现

假设我们有一个训练集包含x_train和y_train，其中x_train是特征向量的列表，y_train是相应的标签列表。我们想要预测一个测试样本x_test的标签。

import numpy as np

class KNN:
    def __init__(self, k):
        self.k = k

    def fit(self, x_train, y_train):
        self.x_train = x_train
        self.y_train = y_train

    def predict(self, x_test):
        y_pred = []
        for i in range(len(x_test)):
            distances = []
            for j in range(len(self.x_train)):
                dist = np.linalg.norm(x_test[i] - self.x_train[j])
                distances.append((dist, self.y_train[j]))
            distances.sort()
            neighbors = distances[:self.k]
            classes = {}
            for neighbor in neighbors:
                label = neighbor[1]
                if label in classes:
                    classes[label] += 1
                else:
                    classes[label] = 1
            y_pred.append(max(classes, key=classes.get))
        return y_pred
1
2
3
4
5
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7
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在这个实现中，我们首先定义了一个KNN类，它有一个k参数，表示我们要考虑的最近邻居的数量。在fit方法中，我们简单地将训练集保存下来。在predict方法中，我们首先遍历所有测试样本，对于每个测试样本，我们计算它与所有训练样本的距离，并将距离及其对应的标签保存在distances列表中。然后我们对distances列表按距离进行排序，并选取前k个最近的邻居。接下来，我们统计这些邻居属于哪些类别，选取出现次数最多的类别作为预测标签，并将其保存在y_pred列表中。最后，我们返回y_pred列表作为预测结果。

这是一个简单的KNN实现，它可以用于分类问题。如果我们想要用KNN进行回归问题，需要对predict方法进行修改，例如使用平均值来预测输出。

下面是一个使用KNN算法进行手写数字分类的Python代码示例：

from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

# 加载手写数字数据集
digits = load_digits()

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(digits.data, 
digits.target, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建KNN分类器并拟合训练集
knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5)
knn.fit(X_train, y_train)

# 在测试集上进行预测
y_pred = knn.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = knn.score(X_test, y_test)
print("Accuracy:", accuracy)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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在这个代码中，我们首先使用sklearn.datasets中的load_digits函数加载手写数字数据集。然后，我们使用sklearn.model_selection库中的train_test_split函数将数据集划分为训练集和测试集。接下来，我们创建了一个KNeighborsClassifier对象，设置k值为5，并使用fit方法拟合训练集。然后，我们使用predict方法在测试集上进行预测，并使用score方法计算准确率。最后，我们输出准确率。

注意：这个例子中的KNN算法使用了sklearn中的实现，这个实现比上面的手动实现更加高效和准确，因为它使用了KD树或球树等数据结构来加速最近邻查找。

六、KNN的优缺点总结

KNN 算法的优点在于它简单、直观，易于理解和实现，是一个非常经典而且原理十分容易理解的算法。另外，KNN 算法不需要进行模型训练，因此对于小规模数据集来说，它的计算速度非常快。但是，KNN 算法也有一些缺点，例如需要存储全部的训练数据，对于大规模数据集来说存储开销较大；另外，KNN 算法对于样本之间的距离度量和 K 值的选择非常敏感，需要进行仔细的调参。KNN在实际使用当中会有很多问题，例如对数据集进行认真地预处理、对规模超大的数据集拟合的时间较长、对高维数据集拟合欠佳，以及对于稀疏数据集束手无策等。