卡特兰数总结_c++:h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)........h(n-2)h(1)+h

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

另类递归式：

h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

C++实现递归程序如下：

double Katelan(int m);
double Katelan(int m)
{
		if(m<0) return 0;
		if(m==0) return 1.0;
		if(m==1) return 1.0;
		//if(m>=2) return (double)(4*m-2)/(m+1)*Katelan(m-1);
		if(m>=2) return (double)Katelan(m-1)*(4*m-2)/(m+1);
}
int main(int argc, char *argv[])
{
	for(int i = 0; i<=10;i++)
	{
		cout<<Katelan(i)<<endl;
	}
	while(true)
	{
		;
	}
	return 0;
}

　　该递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

卡特兰数的应用　　（实质上都是递归等式的应用）

 1、括号化问题　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2、出栈次序问题　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3、 凸多边形的三角剖分问题 　　求将一个 凸多边形 区域分成三角形区域的方法数。

4、 用给定节点组成二叉树的问题　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

二叉树问题的分析，当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;

       当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。

      当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)