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对数螺旋线(等角螺旋线)数学公式推导

对数螺旋线

在某些论文或文章里看到对数(等角)螺旋线的公式: 。但是搜索了一下,通常都是一些讲解对数等角螺旋线的性质的结果以及公式结果,并没有详细的公式推导。当然对于大多数人只要知道上述公式就好了,当作一个结论公式使用。

当然也有像我这样的想知道公式怎么推出了的,因此我写下这篇文章,希望能够帮助到大家。因本人才疏学浅,文章定有不足,希望大家能够在评论区讨论以及指正。

废话不多说,开启正文!

一、图形引入

下面是对数(等角)螺旋线的图片,可以清晰看出它的性质:图中曲线的在一任意点P处的切线与圆心O到这一点的连线所成角度α不变,也就是α是一个定值

二、数学公式推导

  • 若在极坐标系中,对数(等角)螺旋线的极坐标方程为:,其中θ表示任意一点P的角度,因此该点极坐标为。由推导可知该点的切向量


切向量推导过程如下:

  1. 点P的极坐标为,因此在直角坐标系中的坐标为

  1. 再分别对x,y轴坐标进行求导

因此可得该点的切向量为:


  • 因为α为该点的切向量与圆心连线的夹角,并且α是一个定值,这个角的大小永远不变,那么接下来就是要求出这个定值,推导过程如下:


求解过程如下:

  1. 已知两向量的夹角公式为:

所以

  1. 对上式化简:


  • 得到的值后,继续求得的值


求解过程如下:

  1. 已知可求得,因为

所以,

  1. 已知可得,因为

所以,


  • 继续求得最终对数(等角)螺旋线的极坐标方程


极坐标方程推导如下:

  1. 已知

对上述式子两端积分可得,,其中为常数

  1. 化简上式,得到

  1. 所以,对数(等角)螺旋线的极坐标方程为,a为常数


三、性质

以上便是对数(等角)螺旋线极坐标方程的推导,根据公式:,可以得到一些性质。

对于每一个θ,都有一个r值相对应;当θ=0时,r=a,因此a可以影响螺旋线距离圆心的距离。其他的性质就不说那么多了,百度上很多讲性质的。

总结:打公式不易,如有错误欢迎指正!麻烦点赞收藏给个鼓励,谢谢~

最后再补充一张MATLAB实现的图吧!

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