[数学] 线性微分方程中的“线性性“_微分的线性运算

线性微分方程中的"线性性"

前言

• 为了减少视觉干扰, 将${\sum }_{i=0}^n$简记为${\sum }_i$, 意为遍历所有有讨论意义的零和正整数.
• 用大写字母表示矩阵和向量, 用小写字母表示函数, 变量和常量
• "${}^{\tau }$"表示矩阵转置
• 向量默认均指列向量
• 下文涉及的矩阵均为有限但任意大的

将方程转为向量

选取一个适合的基底$R$, 可以用向量$Y$表示函数$$y=R^{\tau }Y$$

将线性变换转为矩阵

导数运算是线性变换, 基于该基底可以构建求导矩阵$D$, 使得
$$y^{\prime }=R^{\tau }DY$$

对于n阶求导亦有
$$y^{(n)}=R^{\tau }{D}^{n}Y$$

齐次线性微分方程

现在考虑常系数齐次线性微分方程
$$\sum _i{a}_i{y}^{(i)}=0$$

方程用向量可等价改写为线性方程
$$\begin{gathered} \sum _i{a}_i{R}^{\tau }{D}^{i}Y=0 \\ {R}^{\tau }\left(\sum _i{a}_i{D}^i\right)Y=0 \\ \left(\sum _i{a}_i{D}^i\right)Y=0 \end{gathered}$$

其中${\sum }_i{a}_i{D}^i$是关于$D$的多项式$P(D)$. 方程化为
$$P(D)Y=0$$

导数运算的特征向量和特征值

设指数函数可表示为$$e^{\lambda x}=R^{\tau }{E}_{\lambda }$$由${\left(e^{\lambda x}\right)}^{\prime }=\lambda e^{\lambda x}$可以发现有$$D{E}_{\lambda }=\lambda E_{\lambda }$$.
故当$D$的特征值为$\lambda$时, 对应的特征向量为$E_{\lambda }$. 随即矩阵$P(D)$的特征值为$P(\lambda )$.

考虑线性方程$P(D)Y=0$, 由$P(D)Y=P(\lambda )Y$可知, 方程的解即$P(\lambda )=0$时的$\lambda$对应的特征向量在基底$R$下的函数, 通解即是各个线性无关特征向量的线性组合对应的函数

常系数齐次线性微分方程

考虑常系数齐次线性微分方程
$$\sum _i{f}_i{y}^{(i)}=0$$
设$f_i=R^{\tau }{F}_i$, 方程用向量可等价转写为线性方程
$$\sum _i{R}^{\tau }{F}_i{R}^{\tau }{D}^{i}Y=0$$

该方程暂不可解, 假设$R^{\tau }A{R}^{\tau }B=R^{\tau }C$, 不可解的原因在于$C$与$A$和$B$的关系不确定. 如当基底$R=(1,x,x^2,x^3,\cdots {)}^{\tau }$时, 有$C=A\ast B$ (向量卷积).

但若当$Y_1$, $Y_2$是解时, 线性组合$Y=a{Y}_1+b{Y}_2$也是解.

一类常系数线性微分方程的特解

一类常系数线性微分方程看起来会有二项式的特征, 如
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^x$$ 下面将讨论这类方程的解

考虑n阶常系数线性微分方程
$$R^{\tau }(D-\lambda I{)}^{n}Y=R^{\tau }Q$$

的一个特解. 其中自由项为$$R^{\tau }Q=e^{\lambda x}\sum _i{c}_i{x}^i$$, $I$为单位矩阵.

现选取基底$$R={\left(e^{\lambda x},x{e}^{\lambda x},x^2{e}^{\lambda x},\cdots \right)}^{\tau }$$

设特解为 $$y^{\ast }=R^{\tau }P=x^n{e}^{\lambda x}\sum _i{a}_i{x}^i$$ 亦即
$$P=(\underset{n\text{个}}{\underbrace{0,\cdots ,0}},a_0,a_1,\cdots {)}^{\tau }$$

将特解代入, 得到$$(D-\lambda I{)}^{n}P=Q$$

其中
D = ( λ 1 0 0 ⋯ 0 λ 2 0 ⋯ 0 0 λ 3 ⋯ 0 0 0 λ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) , D − λ I = ( 0 1 0 0 ⋯ 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 3 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) D=

$$\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda & 2 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda & 3 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$ , D-\lambda I= $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$ D= ​λ000⋮​1λ00⋮​02λ0⋮​003λ⋮​⋯⋯⋯⋯⋱​ ​,D−λI= ​0000⋮​1000⋮​0200⋮​0030⋮​⋯⋯⋯⋯⋱​ ​

用归纳法可解得$c_i=a_i\frac{(i+n)!}{i!}$

常系数线性微分方程

最后考虑一般形式的常系数线性微分方程
$$\sum _i{f}_i{y}^{(i)}=g$$

选取适当基底$R$, 使系数, 自由项, 解, 及其各阶导数均在基底张成的线性空间内

设$f_i=R^{\tau }{F}_i$, $g=R^{\tau }B$, $y=R^{\tau }X$, 有$$y^{(n)}=R^{\tau }{D}^{n}X$$. 方程化为
$$\sum _i{R}^{\tau }{F}_i{R}^{\tau }{D}^{i}X=R^{\tau }B$$

记 $R^{\tau }A{R}^{\tau }B=R^{\tau }(A\otimes B)$(即乘法). 设$L(X)=A\otimes X$, 为线性变换, 其中$A$为任意常向量. 因此存在矩阵$M$, 使$A\otimes X=MX$. 由此针对每个$F_i$, 都存在$M_i$使$F_i\otimes X=M_{i}X$成立.

设$A={\sum }_i{M}_i{D}^i$, 方程化为
$$\begin{gathered} R^{\tau }\sum _i{F}_i\otimes \left(D^{i}X\right)=R^{\tau }B \\ \sum _i{M}_i{D}^{i}X=B \\ AX=B \end{gathered}$$