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泰勒展开是一个很有趣的方法。应该大部分人都看过下面这么一条定理:
泰勒定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的
他的原理也很简单,那就是,当两个函数接近的时候,那么他们在某个点的值肯定相等:
他们的一阶导数在一点上也应该相等
二阶导数也应该相等
那么我们能不能用一个多项式函数去逼近这么一个函数呢?而答案正是泰勒展开。
举个例子,假设f(x)是你想逼近的函数,g(x)则是它的二阶泰勒逼近,即:
于是显然有: g(0)=f(0)。g(x)对x求导:
多元函数的泰勒近似的原理也是类似的,只不过在多元函数中,我们要求的两个函数值相同,变成了有多个点:
其中
举个例子,一个二元函数f(x,y)在点(a,b)上的的泰勒展开式为:
黑塞矩阵更一般的形式可以写成:
https://mathinsight.org/taylors_theorem_multivariable_introduction
https://mathinsight.org/derivative_matrix
https://mathinsight.org/taylor_polynomial_multivariable_examples
https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070
怎样更好地理解并记忆泰勒展开式? - 陈二喜的回答 - 知乎
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