【数论】质数筛法（c++）_c++质数筛

今天来上课

目录

质数筛法是什么？

埃式筛法的原理和实现

欧拉筛法的原理和实现

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质数筛法是什么？

我们平常判断一个数是不是质数，我们要自己写一个循环来判断，但是，如果我们要判断很多个数据，那我们平常写的循环就不够用了，那有什么好方法来判断质数呢？

这就需要用到质数筛法了，质数筛法可以一次判断大量的数据，也就是说，判断一个数，我们用普通的循环，判断很多个数，我们就要用质数筛法了

常见的质数筛法有埃式筛法、欧拉筛法，接下来我会逐一介绍

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埃式筛法的原理和实现

我们想一下，质数的倍数是不是一定是合数？当然是合数，因为质数的倍数的因子中有质数，比如质数2的倍数4,4的因子中含有2，所以4是合数，这就是埃式筛法的基本原理

我们来模拟一遍：

              1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

 f 数组：0、0、0、0、0、0、0、0、0、0

zs数组：（空）

这里，zs数组用来存储质数，f 数组来存储某个数只不是质数，比如f[2]=0表示2是质数，f[6]=1表示6不是质数

刚开始，我们不知道谁是质数，那我们先把所有数都标为质数

现在，我们将f[1]设为1，因为1不是质数

我们把2定为质数（我们都知道2是质数），那2的倍数就不是质数了，所以，现在会变成这样：

              1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

 f 数组：1、0、0、1、0、1、0、1、0、1

zs数组：2

好，我们现在寻找下一个标记为质数的数字，下一个标为质数的数是3，那我们也把3的倍数标记一下：

              1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

 f 数组：1、0、0、1、0、1、0、1、1、1

zs数组：2、3

这里注意，循环到2的时候，我们标记了6，循环到3的时候，我们又标记了6，所以，埃式筛法会重复标记同一个数字，会让时间复杂度变高

好，我们继续找下一个标记为质数的数，下一个数是5对吧，那我们把10也标记了

……

埃式筛法就是这样，把质数的倍数全标记起来，这样没被标记的就是质数了

说了这么多，埃式筛法怎么写呢？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;//n表示要筛1到n 
long long zs[1000010];//因为埃式筛法只适合一百万以内的数据，所以数组开一百万 
bool f[1000010];
int main(){
	cin>>n;//读入 
	long long cnt=0;//用cnt记录现在找到了多少个质数 
	f[0]=f[1]=1;//1不是质数 
	for(int i=2;i<=n;i++){//1和0就不用筛了，已经标记过了 
		if(f[i]==1){//如果i被标记过了 
			continue;//跳过，因为被标记过的是合数 
		}else if(f[i]==0){//如果还没被标记 
			cnt++;//找到的质数++ 
			zs[cnt]=i;//将i加入zs数组 
			for(int j=i;j<=n;j+=i){
				f[j]=1;//将i的倍数全部标记起来 
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++){//输出所有质数 
		cout<<zs[i]<<" ";//输出 
	}
	return 0;
}

埃式筛法的时间复杂度是O(n*sqrt（log n ）)，所以只适合1到一百万（1后面6个0）的数据，小心不要超时了

读者：那有没有更快的质数筛法呢？
当然有了，那就是欧拉筛法，欧拉筛法的时间复杂度只有O(n)

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欧拉筛法的原理和实现

欧拉筛法的时间复杂度是O(n)，因此也被称为线性筛，非常的快，我觉得欧拉筛法就是对埃式筛法的一个优化，我们想一下，埃式筛法的时间复杂度为什么那么高？是因为一个数会被很多个数重复标记，比如12，会被2和3标记，那怎么让数字不会被重复标记呢？

这就需要用到欧拉筛法了，欧拉筛法的思路和埃式筛法差不多，但欧拉筛法会保证让每一个合数都被这个合数最小的质因数标记

那具体要怎么做呢？

首先，我们先看代码，然后慢慢理解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int y,vis[100000011]={},b[100000001],j=0,n,q;
//b数组存储质数，vis标记是否为质数，0是，1不是
int main(){
	cin>>n>>q; 
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(vis[i]==0)
			b[++j]=i;//等于0就将质数加进去 
		for(int s=1;s<=j&&b[s]*i<=n;s++){//就是遍历每个质数 
			vis[b[s]*i]=1;//将这一项质数*当前循环到的数i 
			if(i%b[s]==0) break;//如果i%b[s]==0，果断结束 
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		cin>>y;
		cout<<b[y]<<endl;
	}
}//质数筛法

我们看这段代码，似乎难的只有if(i%b[s]==0)这一句，其他都跟埃式筛法差不多，那我们就来理解一下这一句

当i%b[s]==0的时候，是不是相当于i=b[s]*k（k为某个正整数）？好，那么我们想一下，如果我们继续遍历质数（继续找质数，然后把i*质数筛掉），那我们的s就会继续增加，比如s增加了5，那我们就会筛掉i*b[s+5]，而i=b[s]*k，所以 i * b[s+5] = b[s] * k * b[s+5]，我们想一下，b用来存储质数，那b[s]和b[s+5]那个小？显然是 b[s]更小一些，也就是所，b[s]才是i*b[s+5]的最小质因数，那我们就不应该继续遍历质数，果断停止，等待下一轮的时候，把i*b[s+5]筛掉

可能会有点难懂，希望你多想想，要是实在理解不了，请你把欧拉筛法的代码背起来

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参考：[数论] 欧拉筛法_C20200902的博客-CSDN博客