数学建模笔记 Topsis和熵权法_topsis熵权法

Topsis法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

​ Topsis法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息， 其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

在之前，我们学习过层次分析法（AHP）。其中，层次分析法模型的局限性是需要我们构造判断矩阵，这具有很强的主观性，并且决策因子数量最好不超过10个。那么有没有一种客观的方法去判断各因子之间的权重呢？基于熵权法的Topsis模型可以解决这个问题。

本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看右侧链接查看清风老师视频讲解：【强烈推荐】清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教学_哔哩哔哩_bilibili

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一个小例子引出Topsis模型

​ 这样评分有不合理之处，若小王得分为10分，那么他的总评分还是为0.1分，这显然是不合理的。因此我们需要修改评价模型。

比较好的想法：

方法1

卷面最高成绩max：100

卷面最低成绩min：0

计算评分的公式：

方法2

最高成绩max：99

最低成绩min：60

计算评分的公式：

​ 对于这个问题，可能大家会选方法1去进行评分，但大多是实际情况下，是没有最大值这个项的，如：国家年GDP增速等数据。并且比较的指标往往不只是单方面的，如成绩、竞赛成绩等。因此方法2更适合我们去进行评分。

拓展：增加指标个数

新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分

成绩是越高越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

与他人争吵的次数是越少越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

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第一步：指标正向化

统一指标类型

将所有的指标转化为极大型称为指标正向化

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极小型➡极大型

**极小型指标转换为极大型指标的公式：**max-x（此公式不唯一，若数据都为正数，那么也可以使用，此公式合理即可）

中间型➡极大型

中间型指标： 指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）。是一组中间型指标序列，且最佳的数据为，那么正向化的公式如下：

因此

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区间型➡极大型

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。

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第一步代码展示

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);
 
if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); 
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); 
    for i = 1 : size(Position,2) 
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

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第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的就是消除不同量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：

那么对其标准化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：

即得到标准化矩阵Z（每一个元素/根号下所在列元素的平方和）:

注意：标准化的方法不唯一，但目的都是为了去量纲。

那么对题目中的矩阵进行处理：

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第二步代码展示

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
1
2
3

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第三步：计算得分并归一化

定义最大值：

定义最小值：

定义第i（i = 1,2,…,n）个评价对象与最大值的距离：

定义第i（i = 1,2,…,n）个评价对象与最小值的距离 ：

那么，我们可以计算得出第 i( i = 1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分:

很明显 0≤Si≤1，且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。

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得分结果如下

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第三问代码展示

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; 
S = D_N ./ (D_P+D_N);   
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
1
2
3
4
5
6

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模型拓展

熵权法

信息量

信息熵

事件所有发生情况的概率相等时，信息熵取最大值（只需要知道，不需要证明）

• 熵越大信息量越大还是越小？
• 

对于熵权法而言，因为我们关注的是已有的信息，所以答案是越小（后面大家看到计
算步骤就会明白）

计算步骤

1. 对正向化的矩阵进行标准化，

如果有非负数，则采用标准化方式：（xij-该列最小值）/（该列最大值-该列最小值）

2. 计算每一列（每一个指标）中每个元素所占比重，看作计算相对熵时要用到的概率

标准化后的矩阵

pij= zij/所在列的和

（这种求法有待商榷，但是大家都这么用）

3. 计算每个指标信息熵

两个小问题的说明

• 除lnn，使信息熵ej落在[0,1]之间。因为信息熵越大，所含信息越小。
• 所以用1-ej来表示信息效用值，效用值越大，所含信息越多

• 将信息效用进行归一化

背后原理

• 问题

基于熵权法的Topsis模型：

​ 我们在上面讨论时，有一个问题没有考虑，就是两个指标之间的权重关系，因为层次分析法是一个比较主观的计算权重方法，在这里会介绍一个客观的求权重方法：熵权法

​ 熵权法的原理是指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。因此数据本身就告诉了我们权重。所以说熵权法是一种客观的方法。但就如评价三好学生的例子，只有学习成绩与违纪次数去评价一个学生，使用了熵权法之后，反而违纪次数的权重近于0，显然不符合常理。因此使用此方法后我们需要人工干预，判断一下权重是否合理（如2021年国赛C283论文）。若不合理，可通过层次分析法去修正权重大小。

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熵权法代码展示

disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
    Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');
    if Judge == 1
        if sum(sum(Z<0)) >0   % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化
            disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')
            for i = 1:n
                for j = 1:m
                    Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];
                end
            end
            disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为:  ')
            disp(Z)
        end
        weight = Entropy_Method(Z);
        disp('熵权法确定的权重为：')
        disp(weight)
    else
        disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
        weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
        OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
        while OK == 0 
            if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m  % 注意，Matlab中浮点数的比较要小心
                OK =1;
            else
                weight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
            end
        end
    end
else
    weight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
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31
32
33

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模型总结

​ Topsis优劣解距离法模型是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。相对于层次分析法而言，Topsis法是解决决策层中数据已知的评价类模型。它可以解决多数据量的题目，数据计算简单易行。但对于各数据量之间的关系，我们需要使用熵权法或层次分析法来建立权重。

​ 熵权法的原理是指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。因此数据本身就告诉了我们权重。所以说熵权法是一种客观的方法。但就如评价三好学生的例子，只有学习成绩与违纪次数去评价一个学生，使用了熵权法之后，反而违纪次数的权重近于0，显然不符合常理。因此使用此方法后我们需要人工干预，判断一下权重是否合理（如2021年国赛C283论文）。综合来说，在比赛中，对于决策层中数据已知的问题，使用Topsis模型十分合适。

​ 解题步骤：1.熵权法确定权重

​ 1.1数据标准化

​ 1.2求出各指标的信息熵

​ 1.3计算各指标的差异系数

​ 1.4确定各指标的权重

​ 1.5分别用权重乘以归一化后的数据

​ 2.将原始矩阵正向化 （变为极大型指标）

​ 3.正向化矩阵标准化

​ 4.确定最优方案和最劣方案

​ 5.计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度

​ 6.计算各评价对象与最优方案的贴近程度

​ 7.根据贴近程度大小进行排序，给出评价结果

​ 其优点为：1.避免了数据的主观性，不用通过检验，能够很好的刻画多个影响指标的综合影响力度

​ 2.评估程序简单，计算过程简单易懂。

​ 3.对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制，既适于小样本资料，也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便

​ 其缺点为：1.必须有两个以上的研究对象才可以进行使用

​ 2.需要的每个指标的数据，对应的权重计算会有一定难度

​ 3.不确定指标的选取个数为多少适宜，才能够很好刻画指标的影响力度

​ 总结来说：Topsis法是评价类模型，在多个研究对象的情况下，计算灵活、方便，适合在评价类问题使用，可以与计算权重类模型相结合加以论证。

一张图片总结

本文借鉴了**数学建模**清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看右侧链接查看清风老师视频讲解：【强烈推荐】清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教学_哔哩哔哩_bilibili