task09 线性代数

矩阵和向量积

矩阵的定义、矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的转置与二维数组完全一致，但矩阵的乘法有不同的表示。numpy.dot(a, b[, out]) 计算两个矩阵的乘积，如果是一维数组则是它们的内积。

import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])
z = np.dot(x, y)
print(z) # 70
x = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
print(x)
# [[1 2 3]
# [3 4 5]
# [6 7 8]]
y = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])
print(y)
# [[5 4 2]
# [1 7 9]
# [0 4 5]]
z = np.dot(x, y)
print(z)
# [[ 7 30 35]
# [ 19 60 67]
# [ 37 105 115]]
z = np.dot(y, x)
print(z)
# [[ 29 40 51]
# [ 76 93 110]
# [ 42 51 60]]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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15
16
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24
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注意：在线性代数里面讲的维数和数组的维数不同，如线代中提到的n维行向量在 Numpy 中是一维数组，而线性代数中的n维列向量在 Numpy 中是一个shape为(n, 1)的二维数组。

矩阵特征值与特征向量

numpy.linalg.eig(a) 计算方阵的特征值和特征向量。
numpy.linalg.eigvals(a) 计算方阵的特征值。
【例1】求方阵的特征值特征向量

import numpy as np
# 创建一个对角矩阵！
x = np.diag((1, 2, 3))
print(x)
# [[1 0 0]
# [0 2 0]
# [0 0 3]]
print(np.linalg.eigvals(x))
# [1. 2. 3.]
a, b = np.linalg.eig(x)
# 特征值保存在a中，特征向量保存在b中
print(a)
# [1. 2. 3.]
print(b)
# [[1. 0. 0.]
# [0. 1. 0.]
# [0. 0. 1.]]
# 检验特征值与特征向量是否正确
for i in range(3):
if np.allclose(a[i] * b[:, i], np.dot(x, b[:, i])):
print('Right')
else:
print('Error')
# Right
# Right
# Right
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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【例2】判断对称阵是否为正定阵（特征值是否全部为正）。

import numpy as np
A = np.arange(16).reshape(4, 4)
print(A)
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]
# [12 13 14 15]]
A = A + A.T # 将方阵转换成对称阵
print(A)
# [[ 0 5 10 15]
# [ 5 10 15 20]
# [10 15 20 25]
# [15 20 25 30]]
B = np.linalg.eigvals(A) # 求A的特征值
print(B)
# [ 6.74165739e+01 ‐7.41657387e+00 1.82694656e‐15 ‐1.72637110e‐15]
# 判断是不是所有的特征值都大于0，用到了all函数，显然对称阵A不是正定的
if np.all(B > 0):
print('Yes')
else:
print('No')
# No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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矩阵分解部分本文科生已经看不懂了…跳过不记录了…