数字三角形模型（DP）

1.方格取数

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 11 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N≤10

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

67

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题目描述：

        本题要求由A到B需要走两次，两次路径可以相交，但每个格子的数只能取一次

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错误思路：

        分两次走第一次取最优方案将取出的点置空变为零  然后再走第二次再取最优解

 错误原因：这种思路类似于贪心，但第一次的路径选择会 可能影响第二次的路径选择

所以我们分两次走只是取得了两次的局部最优解 但这个两个局部最优解的和可能不是整体的最解

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正确思路：

        两个路径同时走：

        状态表示：

                f[i1][j1][i2][j2] 表示第一条路径走到i1,j1, 第二条路径走到i2,j2位置的取数最大值

        由于两条路径是同时走的 所以 i1+j1 = i2+j2 现在令k=i1+j1,就可以将f[i1][j1][i2][j2]表示为

        f[k][i1][i2]

        状态转移：

        因为这两条路径都只可以往下走或者往右走，所以当前状态的上一个状态有四种情况

1.  第一条路径往下走，第二条路径往下走, 即f[k−1][i1−1][i2−1]
2. 第一条路径往下走，第二条路径往右走，即f[k−1][i1−1][i2]
3. 第一条路径往右走，第二条路径往右走，即f[k−1][i1][i2]
4.  第一条路径往右走，第二条路径往下走，即f[k−1][i1][i2−1]

        k可以理解为走了多少步，
        但因为i和j最小时，k = 2，i和j最大时，k = n + n，所以k的总的状态范围为2到n + n

          我们用t来记录当前取数的状态，如果两条路径的没有走到同一格t=w[i1][w[i2][j2], 否则          t= w[i1][j1].    两条路径走到同一格的条件是i1=i2.

  代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 5 + 10;
int w[N][N], f[2*N][N][N];
 
int main(void)
{
 
	int n;
	cin>>n;
	int x, y, a;
	
	while (cin >> x >> y >> a, x || y || a)
	{
		w[x][y] = a;
	}
 
    for (int k = 2; k <= 2*n ; k++)//k-2前进的步数
    {
        for (int i1 = 1; i1 <= n; i1++)//第一条路线的纵坐标
    	{
    		for (int i2 = 1; i2 <= n; i2++)//第二条路线的纵坐标
    		{
    		    
    			int j1=k-i1,j2=k-i2;//计算两条路线的横坐标
    			if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n)
    			{
    			    int mx =f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1];
    				mx = max(f[k - 1][i1 - 1][i2], mx);
    				mx = max(f[k - 1][i1][i2 - 1], mx);
    				mx = max(f[k - 1][i1][i2], mx);
    				
    				f[k][i1][i2] =mx;
    			}
                int t=w[i1][j1];
				if (i1 != i2) t+= w[i2][j2];//i1==i2表示两条路线走到了同一个点
                f[k][i1][i2]+=t;
    		}
    	}
    }
    	
	cout<<f[2*n][n][n]<<endl;
	return 0;
}

2.传纸条

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 mm 行 nn 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)(m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。 

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 00 表示），可以用一个 0∼1000∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有 22 个用空格隔开的整数 mm 和 nn，表示学生矩阵有 mm 行 nn 列。

接下来的 mm 行是一个 m×nm×n 的矩阵，矩阵中第 ii 行 jj 列的整数表示坐在第 ii 行 jj 列的学生的好心程度，每行的 nn 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

1≤n,m≤50

输入样例：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例：

34

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 题目描述：

        小渊和小轩两个人相互传纸条，但帮他两个传纸条的人只会帮忙传一次，现在需要找到两条路径使得这两条路径上的同学的好感度之和最高。

题目分析

该题和“方格取数”非常相似但需要稍加分析，首先由于两个人传纸条的方向是不同的，对于从(n,m)->(1,1)的这个人的纸条只能向上或向左传，如果我们有一条(n,m)->(1,1)的路径，则必然有唯一一条(1,1)->(n,m)的路径于它完全重合，此时问题就可转化为从(1,1)->(n,m)的两条不相交路径的最大值。

1.如果最优的两条路径相互交叉

 此时我们可以将位于蓝色线下方的红线与蓝线交换（交换后两条路径经过的点不会改变所以不会改变最优解）

交换后如下：

此时依然会存在交点  如果我们选择绕过焦点

 所以无论是方格取数还是本题最优方案都一定不会是两条相交的路径

所以本题与方格取数的代码完全相同

代码：

看上面方格取数代码完全一样