最短生成树 (超详细大全)

最短生成树

给定的连通无向图G=(V,E),必可选取某V-1条边与原本的V个点构成一个无环路的连通子图G1=(V,V-1),G1就是G的生成树.这V-1条边的权值和就是这个生成树的权重,权重最小的就是最小权重生成树

最小生成树

普利姆算法:维护一个集合,每次将离集合最近的点加入到集合
使用邻接矩阵存储即可
克鲁斯卡尔算法:给每一条边按照权值进行排序,然后遍历m个点

Prim算法求最小生成树

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。
输入样例：

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输出样例：

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AC思想
prim 算法干的事情是：给定一个无向图，在图中选择若干条边把图的所有节点连起来。要求边长之和最小。在图论中，叫做求最小生成树。
dis[N]存储各个节点到生成树的距离,g[i][j]存储的边权,每一次查看走那一条边权可以使得到达集合的距离最短
AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N];//存储图
int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int pre[N];//节点的前去节点
int n, m;//n 个节点，m 条边

void prim(){
    memset(dt,0x3f, sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右）
    int res= 0;
    dt[1] = 0;//从 1 号节点开始生成 
    for(int i = 0; i < n; i++)//每次循环选出一个点加入到生成树
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)//每个节点一次判断
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dt[j] < dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
                t = j;
        }

        st[t] = 1;// 选择该点
        res += dt[t];
        for(int i = 1; i <= n; i++)//更新生成树外的点到生成树的距离
        {
            if(dt[i] > g[t][i] && !st[i])//从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。
            {
                dt[i] = g[t][i];//更新距离
                pre[i] = t;//从 t 到 i 的距离更短，i 的前驱变为 t.
            }
        }
    }
}

void getPath(){//输出各个边
    for(int i = n; i > 1; i--)//n 个节点，所以有 n-1 条边。
    {
        cout << i <<" " << pre[i] << " "<< endl;// i 是节点编号，pre[i] 是 i 节点的前驱节点。他们构成一条边。
    
}

int main(){
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数
    cin >> n >> m;//输入节点数和边数
    while(m --){
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;//输出边的两个顶点和权重
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w);//存储权重
    }
    prim();//求最下生成树
    //getPath();//输出路径
    return 0;
}
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prim算法判断是否连通

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];

int prim(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    int res = 0;//存储答案
    for (int i = 0; i < n; i ++ )//n轮循环找每一个点
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF; //不连通
        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;
         for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//用最小值更新每一条边
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m -- ){
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    int t = prim();
    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    return 0;
}
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Kruskal算法求最小生成树

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。
输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
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输出样例：

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AC思想
使用结构体进行存储,对边的权值进行从小到大进行排序
AC代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];
struct node{
    int a, b, w;
}edges[M];

bool cmp(node a,node b){
    return a.w < b.w;
}

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal(){
    sort(edges, edges + m, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){//m条边
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b){//连接两个点 
            p[a] = b;
            res += w;//统计最小生成树大小
            cnt ++ ;//统计边数
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;//边数小于n-1则不连通
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    
    int t = kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    return 0;
}
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