最优子结构_最优子结构性质

什么是最优子结构性质？

最优子结构性质是指一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。换句话说，如果一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解来计算得出，那么这个问题就具有最优子结构性质。这是动态规划和贪心算法的基础。

例子解析

1. 最短路径问题

问题描述： 给定一个有向图，找出从顶点A到顶点C的最短路径。

最优子结构性质： 如果从顶点A到顶点C的最短路径经过了顶点B，那么A到B的最短路径和B到C的最短路径构成了A到C的最短路径。

解释：

• 假设从A到C的最短路径是经过B的路径。
• 从A到B的路径必须是A到B的最短路径，否则可以找到更短的A到C的路径（矛盾）。
• 同样地，从B到C的路径也必须是B到C的最短路径，否则可以找到更短的A到C的路径（矛盾）。
• 因此，A到C的最短路径包含A到B和B到C的最短路径，这说明该问题具有最优子结构性质。

2. 钢条切割问题

问题描述： 给定一段长度为(n)的钢条和不同长度钢条的价格，找出切割钢条的方法，使得总收益最大。

最优子结构性质： 对于长度为(n)的钢条，如果知道了每种长度的钢条切割后的最大收益，那么更长的钢条的最大收益可以通过切割出的子段的最大收益来计算得出。

解释：

• 设(r(n))为长度为(n)的钢条的最大收益。
• 则长度为(n)的钢条可以被切割成长度为(i)的钢条和长度为(n-i)的钢条。
• 最大收益为：(r(n) = \max{p(i) + r(n-i) \mid 1 \leq i \leq n})，其中(p(i))为长度为(i)的钢条的价格。
• 通过上述递推公式可以看出，长度为(n)的钢条的最优收益依赖于其子问题（长度小于(n)的钢条的最优收益），这体现了最优子结构性质。

动态规划的全局最优解与复杂性

动态规划是解决具有最优子结构性质问题的有效方法，因为它通过解决子问题并将其结果存储起来，以避免重复计算，从而保证得到全局最优解。但是，这也意味着需要解决和存储更多的子问题，因此实现起来可能更加复杂。

理解这句话：

动态规划通过解决每一个子问题并将其结果存储在表格中，以便在需要时快速查找。这种方法确保了问题的每一个子问题都是在前面已经解决的子问题的基础上解决的，从而保证了全局最优解。然而，这也意味着需要构建和管理一个潜在非常大的表格，这增加了实现的复杂性。

具体例子：

• 在解决最短路径问题时，动态规划方法如弗洛伊德-沃尔沙尔算法需要构建一个二维数组来存储所有顶点对之间的最短路径，这个数组的大小为(O(V^2))（其中(V)是顶点数）。
• 在钢条切割问题中，动态规划需要构建一个数组来存储每一个长度的钢条的最大收益，这个数组的大小为(O(n))。