查找树（二）：AVL树_avl树的深度

1. AVL树

从前面的探讨已经可以知道，普通的二叉查找树的查找操作并不能实现O(log2n)的时间复杂度，因此需要为它添加平衡条件。这包含两个层面的意思：

• 添加了平衡条件后，树的深度必须是O(log2(N))，毕竟这就是我们添加平衡条件的初衷；
• 平衡条件必须要容易保持。举个例子，说起平衡条件，最容易想到的就是让每个节点的的左右子树的高度都保持一致，虽然这种平衡条件保证了树的深度，但它“太严格了”，因而难以被使用（首先它需要节点数为2^k-1，其次树的构造和保持也是一难点）。

正如上面所说，严格限制每个节点的左右子树高度相同是不太现实的，我们需要略微放宽条件。下面我们来看AVL树的定义（关于树的深度/高度的定义可查看：树）：

• 首先它是一棵二叉查找树；
• 其次AVL树每个节点的左子树和右子树的高度最多差1（空树的高度定义为-1）。

可以证明，粗略地说，一个AVL树的高度最多为1.44*log2(N+2)-1.328，但是实际上的高度只略大于log2(N)。根据AVL树的定义，现在我们已经可以准确的判断出一颗二叉查找树是否为AVL树了，不妨看下面的例子：

很显然，左边的是一棵AVL树，而右边的并不是，他的根节点就不满足左右子树高度差为1的条件（其根节点左右子树的高度差为2，左子树高度为2，右子树高度为0）。

清楚了AVL树的定义之后，下一步当然就是实现它。乍一看AVL树的定义，可能会觉得很抽象，不妨将其实现进行分解，这里我们主要关注AVL树的查找、插入（构造一棵AVL树的过程就是不断插入新的节点的过程）、删除操作。

• 对于查找操作，因为它是一棵二叉查找树，因此可以参考二叉查找树的查找操作，AVL树所作的只是对查找操作的时间复杂度做了优化，达到了O(log2(N))。
• 对于插入操作，只需要保证插入了一个新的节点之后，AVL树的平衡条件还可以成立，这一点可以通过旋转操作实现。
• 删除操作也会破坏AVL树的平衡条件，他与插入操作类似，也可以通过旋转操作恢复，只是具体的操作有些许差别。

2. 插入操作

执行插人操作后，只有那些从插入点到根节点的路径上的节点的平衡可能被破坏，因为只有这些节点的子树可能发生变化。我们沿着这条路径，从插入点向根节点更新平衡信息，就可以发现一个节点（如果存在的话），它的新平衡破坏了AVL条件，将其命名为A节点。

由于插入之前树是平衡的，因此A节点的左右子树的高度差为2，可以将其分为四种情况：

1. 对A的左儿子的左子树进行一次插入；
2. 对A的左儿子的右子树进行一次插入；
3. 对A的右儿子的左子树进行一次插人；
4. 对A的右儿子的右子树进行一次插入。

仔细观察，可以发现上述四种情况中，1和4、2和3相当于是镜像的操作，因此可以将四种情况简化为两种：

• 插入操作发生在同一边（左儿子-左儿子的左子树、右儿子-右儿子的左子树）；
• 插入操作发生在不同边；

对于同一边的情况，只需要单旋转（只需要旋转一次）就可以恢复平衡；而对于在不同边的情况，则需要双旋转来恢复平衡。

2.1 单旋转

对于插入操作位于同一边的操作，只需要通过一次旋转操作就可以恢复节点的平衡条件。以左-左为例（对A的左儿子的左子树进行一次插入，破坏了平衡条件）：

节点A不满足AVL平衡条件，它的左子树的高度比右子树大2。为了恢复树的平衡，我们需要把X上移一层，并把Z下移一层，我们将此操作成为旋转。 如下图所示：

首先，可以证明经过了单次旋转之后，整棵子树达还是二叉查找树：

• 旋转之前（左图），Y位于A节点的“左边”，即Y中节点的key均小于节点A的key；旋转之后（右图），由于Y小于A，因此可以作为A的左子树，符合二叉查找树的规则。
• 旋转之前，AL是A的左节点，即AL小于A；旋转之后，A是AL的右节点，符合二叉查找树的规则。
• 子树A、Z的“左右位置“与原来相同，并没有破坏二叉查找树的规则。

其次，可以证明经过了单次旋转之后，整棵子树符合AVL平衡条件：

1. 观察旋转之前（左图）的结构，从前面的分析已经可以知道左子树的高度比右子树Z的高度大2，只有这样才可以破坏A的平衡；

2. 由于在X中插入节点之前，树是平衡的，因此A的左子树的高度必定增加了，高度的增加必定是由X引起的，因此，插入后X的高度应该大于Y的高度（否则A的左子树高度不可能增加）；

3. 由于A是从插入点向根节点搜索得到的第一个不平衡点，因此AL是平衡的，因此X和Y的高度差最多差1，结合第二点的X高度大于Y，可得X的高度比Y大1；

4. 做一个简单的归纳，定义”水平“为子树的根节点到最深的节点的高度差，L(X)代表X的水平，也就是X的高度加1（AL节点），那么可以有：

   L(X) = L(Y) + 1 = L(Z) + 2

5. 观察旋转之后（右图）的结构，旋转操作让X、Y、Z的水平发生了变化：

   L(X) = L(X) - 1
   L(Y) = L(Y)
   L(Z) = L(Z) + 1

6. 对比5和6的层次关系，可以知道旋转之后X、Y、Z均处于同一水平，子树的平衡得到恢复。

对于右-右的情况，可以按照类似的旋转操作进行重新平衡；而对于第二类情况（不同边），则需要双旋转，才可以恢复子树的平衡。

2.2 双旋转

不同边的情况可以用下图进行表示（以左-右为例）：

此时，Y成为了破坏A的平衡的罪魁祸首，根据上面的分析可知，单旋转前后Y的层次不变，虽然Z的层次增加了，但X的层次减少了，X与Y形成了新的不平衡条件，因此单旋转并不能解决这种情况，这时候就需要双旋转来恢复平衡条件。

所谓的双旋转，就是指先进行一次单旋转，将子树转化成类似同一边的情况；然后再进行第二次单旋转以恢复整棵子树的平衡。 为方面演示，将子树Y进行展开，双旋转中第一次旋转的流程如下所示：

第一次旋转，相当于以A的左孩子AL为目标节点，进行了一次”右-右“情况的单旋转。可以看到，第一次旋转过后，已经基本等同于2.1中的情况（可能略微有所区别，但不影响结果），因此，只需要像2.1中一样在进行一次单旋转即可恢复平衡。

• 旋转前（左图），AL右子树的层次比Z的层次大2，也就是说x、y中必然有一个是比z的层次大2的（不必关系是哪一个，并没有影响）；
• 第一次旋转后，w层次加1（比z大2）、x的不变（比z大1或2）、y的减1（比z大1或和z相等），此时就转化成了ARL的左子树层次比z大2；
• 第一次旋转后y的层次可能比ALR的左子树小2，破坏了平衡，但是没关系，第二次旋转之后ALR的左子树（右图中等价后的大X）层次减1，y不变，局部的平衡恢复；
• 第二次旋转后Z的层次加1，至此，整棵子树达到平衡（第二次旋转与前面给出的左-左单旋转类似，可以尝试自己画出第二次旋转的情况）；
• 由于旋转操作并不改变平衡二叉树的性质，因此，双旋转之后，整个子树恢复成了一棵AVL树。

2.3 整棵树都平衡了吗？

再回过头去看旋转操作，我们可以发现，**无论是单旋转还是双旋转，旋转过后整棵子树不仅恢复了平衡，子树的层次（即子树的高度）也恢复到了和插入前一样（插入后整棵子树的高度增加了1，旋转后子树高度减1）。**也就是说，旋转操作后，不仅第一个失衡的节点达到了平衡，由于这个局部恢复到了插入前的深度，其上层也一定是平衡的，因此整棵树都恢复了平衡！

3. 删除操作

在AVL树中删除节点后同样可能会引发失衡，失衡后的情况与插入操作类似，只是变成了被修改（删除）的一边的高度比另一边小2（插入是修改那边子树的高度更高），此时，我们同样可以通过旋转使之恢复平衡。

一般来说，二叉查找树的删除操作会将要删除的节点首先移动到叶子节点上，然后进行删除。同样的，我们只需要从被删除的叶子节点开始，逆向往根节点进行查找，更新途中每个节点的平衡信息，就能找到不平衡的节点。然后对不平衡的点进行旋转操作，以恢复局部的平衡。唯一不同的是，删除操作的平衡不会向上传播，也就是说局部恢复平衡之后，还要继续向上查找更新，如遇到不平衡的节点则继续通过旋转操作使其平衡。

以删除右子树的节点D为例，删除后A的右子树的高度比左子树小2，这时候需要找到A的左孩子AL，当AL左子树的深度不小于其右子树的深度，通过单旋转就可以恢复局部平衡：

这个流程与插入操作的左-左类似，只是在上图这种情况下，旋转后子树整体的高度减1（也可能不变，当AL的左右子树高度相同时），上层节点不一定平衡。

继续以删除右子树的节点D为例，当AL左子树的深度比右子树的深度小1，就需要通过双旋转来恢复平衡， 具体的操作与插入时的十分类似，具体可以参考插入操作中的双旋转示意图。