稠密集和疏朗集_拓扑动力系统(2): 极小集, Birkhoff定理, ω极限点

内容提要:

1 极小集; 2

极限点; 3 关于稠密性的结论补充; 本文主要参考文献.

本文的前置内容为:

格罗卜学数学：拓扑动力系统(1): 基本概念, Li-Yorke定理和Sharkovskii定理

本文之后请继续食用:

格罗卜学数学：拓扑动力系统(4): 拓扑熵

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设

紧致Hausdorff空间, 连续映射, 紧致拓扑离散半动力系统 , 简称 紧致系统, 记为

1 极小集, Birkhoff定理

1-1. [极小集] 称

• (1)
  不包含任何真不变闭子集;
• (2)
  ,
  , 即
  中每一点的轨道都在
  中稠密;
• (3) 对于每个非空开集
  , 存在有限子集
  , 使得
  .

[证明] (1)

(2) 显然.

(1)

(3) 设

. 那么

为闭不变的. 根据假设

. 根据

的紧致性,就有(3)成立.

(3)

(1) 设

为非空闭不变的. 那么

为开集并且

. 如果

, 那么

. 由假设, 存在有限子集

, 使得

. 于是

, 矛盾! 因此

, 证毕.

• 由定义知道, 极小系统不能有非平凡的子系统. 特别地, 若底空间是无限集合, 则极小系统不能有周期点.

1-2. [极小子集] 如果子系统

极小的. 如果一个包含在某个极小集中, 我们就称它为 极小点.

1-3. 如果两个子集

[证明] 由极小集的等价定义(2), 显然.

1-4. [重要定理]