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AI遮天传 ML-初识决策树_决策树大小颜色形状可以用

决策树大小颜色形状可以用

决策树学习是最早被提出的一批机器学习的方法之一,由于它好用且具有很强的可解释性,到现在依然在被广泛使用。

一、决策树学习基础

(比较简单,一带而过) 

例:享受一种运动 

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 对于新的一天,是否可以去享受运动?

适用决策树学习的经典目标问题

  • 带有非数值特征的分类问题
  • 离散特征
  • 没有相似度的
  • 特征无序

另一个例子:水果

  • 颜色:红色、绿色、黄色
  • 大小:小、中、大
  • 形状:球形、细长
  • 味道:甜、酸

样本表示

属性的列表而非数值向量

例如享受运动的例子:

  • 6值属性:天气、温度、湿度、风、水温、预测天气
  • 某一天的天气实例:{晴、暖、一般、强、暖、不变}

例如水果的例子:

  • 4值元组:颜色、大小、形状、味道
  • 某个水果的实例: {红、球形、小、甜}

训练样本

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决策树概念

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决策树发展历史-里程碑

• 1966,由Hunt首先提出

• 1970’s~1980’s

        • CART 由Friedman, Breiman提出

        • ID3 由 Quinlan 提出

• 自1990’s以来

        • 对比研究、算法改进(Mingers, Dietterich, Quinlan, etc.)

        • 最广泛使用的决策树算法: C4.5 由 Quinlan 在 1993 年提

二、经典决策树算法 – ID3

自顶向下,贪心搜索

递归算法

核心循环:

  • A :找出下一步 最佳 决策属性
  • 将 A 作为当前节点决策属性
  • 对属性A (vi )的每个值,创建与其对应的新的子节点
  • 根据属性值将训练样本分配到各个节点
  • 如果 训练样本被完美分类,则退出循环,否则进入递归状态继续向下探分裂新的叶节点

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如:outlook是我们找出的最佳决策属性,我们就把它当成当前的根节点,根据outlook也就是天气情况我们就会有不同的分支不同的子节点,比如sunny、overcast、rain,如到了overcast就已经结束/有标签了,说明已经被分好了,如果还没被分好,我们就按照数据的取值把一批数据分到sunny、rain对应的分支上,humidity、wind,进入递归继续执行。如此时humidity是我们选择的最佳属性。

问题:

  1. 什么样的熟悉是最佳的决策属性?
  2. 什么叫做训练样本完美分类?

Q1:哪个属性是最佳属性?

比如这里有两个属性 A1(湿度)和 A2(风力)(64个数据,29个正例35个负例)

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A1为true(湿度大)的有21正 5负 为false(湿度小)的有8正30负

A2为true(风力大)的有18正33负 为false(风力小)的有11正2负

注:正例是去运动,负例是不去。

此时到底A1和A2(湿度和风力)哪个作为根节点/最佳决策属性好呢?

当前最佳节点选择的基本原则:简洁

                        ----我们偏向于使用简洁的具有较少节点的树

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如上图,假如有两种水果,西瓜和柠檬。我们使用颜色color作为根节点则只需要根据green还是yellow便能够判断是西瓜还是柠檬。而如果我们选择size大小,大的肯定是西瓜了,而小的说不定还是小西瓜,所以还要根据颜色来判断。

属性选择和节点混杂度(Impurity)

属性选择的基本原则:简洁

                —— 我们偏向于使用简洁的具有较少节点的树

在每个节点 N上,我们选择一个属性 T,使得到达当前派生节点的数据尽可能 “纯”

纯度(purity) – 混杂度(impurity)

如上图第一个的例子,经过了 颜色 ,则左边绿色都是西瓜右边黄色都是柠檬

而在第二个 尺寸 小 的节点上,又有西瓜又有柠檬,就不够 纯。

如何衡量混杂度?

1. 熵(Entropy) (广泛使用)

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gif.latex?Entropy%28N%29%20%3D%20-%5Csum_%7Bj%7D%5E%7B%7D%28p%28w_%7Bj%7D%29*%7Blog_%7B2%7D%7D%5E%7Bp%28w_%7Bj%7D%29%7D%29

节点N的熵表示为在这个节点下不同的取值gif.latex?p%28w_%7Bj%7D%29(w:以size大小为例w1是大w2是小,gif.latex?p%28w_%7B1%7D%29为w1的概率,gif.latex?p%28w_%7B2%7D%29为w2的概率。),每一个gif.latex?p*log%7B_%7B2%7D%7D%5E%7Bp%7D的和的相反数。

  • 定义: 0log0=0
  • 在信息理论中,熵度量了信息的纯度/混杂度,或者信息的不确定性
  • 由上图可知,熵最大的时候概率为一半一半,即此时最不确定。
  • 正态分布 – 具有最大的熵值

计算并判断下图例子:

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 可以看到A1 A2都是29+,35-,接近一半一半,熵应该是接近于1的。

 gif.latex?Entropy%28S%29%3D-%5Cfrac%7B29%7D%7B64%7D*%7Blog_%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B29%7D%7B64%7D%7D-%5Cfrac%7B35%7D%7B64%7D*%7Blog_%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B35%7D%7B64%7D%7D%20%3D%200.993

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蓝线:1个类时概率为1,2个类时概率为0.5,16个类时概率为1/16

红线:1个类时最大熵为0,2个类时最大熵为1,无限增长。(其中最大时为均匀分布的)

2. Gini 混杂度 ( Duda 倾向于使用 Gini 混杂度)

在经济学和社会学上人们用 基尼系数 来衡量一个国家发展的平衡与否。

gif.latex?i%28N%29%3D%5Csum_%7Bi%5Cneq%20j%7D%5E%7B%7D%28p%28w_%7Bi%7D%29*p%28w_%7Bj%7D%29%29%20%3D%201-%5Csum_%7Bj%7D%5E%7B%7Dp%5E%7B2%7D%28w_%7Bj%7D%29

表示所有不相同情况的乘积(如果是A、B两种情况则p(A)*p(B),如果是A、B、C三种情况则p(A)*p(B)+p(A)*p(C)+p(B)*p(C))

或者 1-相同情况的乘积 (gif.latex?1-p%5E%7B2%7D%28A%29-p%5E%7B2%7D%28B%29-p%5E%7B2%7D%28C%29

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n = number of class(也是因为是均匀分布的,各部分都是1/n)

有了上限,上限为1.

3. 错分类混杂度

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1-最大类的概率,即1-大多数进入的那个类(分对了,1-就是错的)

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度量混杂度的变化--信息增益(IG)

由于对A的排序整理带来的熵的期望减少量

gif.latex?Gain%28S%2CA%29%5Cequiv%20Entropy%28S%29-%5Csum_%7Bv%5Cepsilon%20Values%28A%29%7D%5E%7B%7D%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20S_%7Bv%7D%20%5Cright%20%7C%7D%7B%5Cleft%20%7C%20S%20%5Cright%20%7C%7DEntropy%28S_%7Br%7D%29

 原始S的熵值-经过属性A分类以后的期望熵值

7f734aef4044497ca7804ca64dd866b5.png经计算,可见A1(湿度)的IG(信息增益)更大一些,也就意味着我们获得了更多的信息(减少的熵更多一些),我们选择A1作为根节点。

例:根据下表选择用哪个属性做根节点a90f33b2c4754ba996a587c022834497.png

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Outlook的Gain最大,选它作为根节点。 

Q2: 何时返回(停止分裂节点)? 

“如果训练样本被完美分类”

情形 1: 如果当前子集中所有数据 有完全相同的输出类别,那么终止

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情形 2: 如果当前子集中所有数据 有完全相同的输入特征,那么终止

        比如:晴天-无风-湿度正常-温度合适,最后有的去了有的没去。此时即使不终止也没办法了,因为能用的信息已经用完了。这意味着:1、数据有噪声noise。需要进行清理,如果噪声过多说明数据质量不够好。2、漏掉了重要的Feature,比如漏掉了当天是否有课,有课就没办法出去玩。

可能的情形3: 如果 所有属性分裂的信息增益为0, 那么终止   这是个好想法吗?(No)

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如上图此时树的第一个节点都找不出来(IG都是0),如果3说得对,那此时决策树都无法构建。

假如我们不要这个条件,反正都一样,IG都是0,多个最大值的时候随机选一个关系就被构建出来了(此时也完美分类了)

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 即在ID3中只有上面两种情况会停止分裂,如果IG=0,则随机取一个就好。

ID3算法搜索的假设空间

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  • 假设空间是完备的(即能处理属性的析取又能处理属性的合取)

        目标函数一定在假设空间里

  • 输出单个假设(沿着树的一条路走下去)

        不超过20个问题(根据经验,一般feature不超过20个,过于复杂树比较长也容易产生过拟合)

  • 没有回溯(以A1做根节点,没办法退回去看A2做根节点怎么样)

        局部最优

  • 在每一步中使用子集的所有数据(比如梯度下降算法里权值的更新策略是每条数据更新一次的话,那就是每次只使用一条数据)

        数据驱动的搜索选择

        对噪声数据有鲁棒性

ID3中的归纳偏置(Inductive Bias)

  • 假设空间 H 是作用在样本集合 X 上的

        没有对假设空间作限制

  • 偏向于在靠近根节点处的属性具有更大信息增益的树

        尝试找到最短的树

        该算法的偏置在于对某些假设具有一些偏好 (搜索偏置), 而不是对假设空间 H 做限制(描述偏置).

        奥卡姆剃刀(Occam’s Razor)*:偏向于符合数据的最短的假设

CART (分类和回归树)

一个通用的框架:

  • 根据训练数据构建一棵决策树
  • 决策树会逐渐把训练集合分成越来越小的子集
  • 当子集纯净后不再分裂
  • 或者接受一个不完美的决策

许多决策树算法都在这个框架下,包括ID3、C4.5等等。

三、过拟合问题

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如上图,b比a更好,但如果像c一样每个点都被完美拟合了,错误率为0,但是如果有一个新的点:

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此时c的算法的误差就太大了,过于匹配训练数据了,使得它在测试的更多未见实例上的泛化能力下降了。

决策树过拟合的一个极端例子:

  • 每个叶节点都对应单个训练样本 —— 每个训练样本都被完美地分类
  • 整个树相当于仅仅是一个数据查表算法的简单实现

此时的树就是一个数据查表,可以类比数据结构里哈希表。这意味着查找时只能查找表里有的数据,对于没有的数据查不到,没什么泛化能力。

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四、如何避免过拟合

对决策树来说有两种方法避免过拟合

  • 当数据的分裂在统计意义上并不显著(如样例少)时,就停止增长:预剪枝
  • 构建一棵完全树,然后再做后剪枝

在实际应用中,一般预剪枝更快, 而后剪枝得到的树准确率更高。 

对于预剪枝

很难估计树的大小

预剪枝: 基于样本数

通常一个节点不再继续分裂,当:

  • 到达一个节点的训练样本数小于训练集合的一个特定比例 (例如 5%)
  • 无论混杂度或错误率是多少
  • 原因:基于过少数据样本的决定会带来较大误差和泛化错误(盲人摸象)

比如有100个数据,到当前节点只有5个数据了,就不继续向下分了,无论几个正几个负,说明分的过细了。

预剪枝: 基于信息增益的阈值

  • 设定一个较小的阈值,如果满足下述条件则停止分裂:

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  • 优点: 1. 用到了所有训练数据  2. 叶节点可能在树中的任何一层
  • 缺点: 很难设定一个好的阈值

选IG大的为节点,如果IG最大的还是有点小了,gif.latex?%5CDelta%20i%28s%29%5Cleq%20%5Cbeta 则停止。

对于后剪枝:

• 如何选择 “最佳” 的树?

        在另外的验证集合上测试效果

• MDL (Minimize Description Length 最小描述长度):

        minimize ( size(tree) + size(misclassifications(tree)) ) 树的大小和错误率的和最小

后剪枝: 错误降低剪枝

• 把数据集分为训练集和验证集

        • 验证集:

                • 已知标签

                • 测试效果

                • 不要在验证集上不做模型更新!

• 剪枝直到再剪就会对损害性能:

        • 在验证集上测试剪去每个可能节点(和以其为根的子树)的影响

        • 贪心地去掉某个可以提升验证集准确率的节点

剪掉某个节点后,如何定义新的叶节点(父亲)的标签呢?

剪枝后新的叶节点的标签赋值策略

• 赋值成最常见的类别(60个data,50个+10个-,那就+)

• 给这个节点多类别的标签

        每个类别有一个支持度(5/6:1/6) (根据训练集中每种标签的数目)

        测试时: 依据概率(5/6:1/6)选择某个类别或选择多个标签

• 如果是一个回归树 (数值标签),可以做平均或加权平均

• ……

错误降低剪枝的效果

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从后到前,在验证集上一点点减枝。 

后剪枝: 规则后剪枝

1. 把树转换成等价的由规则构成的集合

        • e.g. if (outlook=sunny)^ (humidity=high) then playTennis = no

2. 对每条规则进行剪枝,去除哪些能够提升该规则准确率的规则前件

        • i.e. (outlook=sunny)60%, (humidity=high)85%,(outlook=sunny)^                 (humidity=high)80%

3. 将规则排序成一个序列 (验证集:根据规则的准确率从高往低排序)

4. 用该序列中的最终规则对样本进行分类(依次查看是否满足规则序列,即在规则集合上一条一条往下走直到能判断出来)

(注:在规则被剪枝后,它可能不再能恢复成一棵树)

一种被广泛使用的方法,例如C4.5

为什么在剪枝前将决策树转化为规则?

• 独立于上下文

        • 否则,如果子树被剪枝,有两个选择:

                • 完全删除该节点

                • 保留它

• 不区分根节点和叶节点

• 提升可读性

五、扩展: 现实场景中的决策树学习

1. 连续属性值

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• 建立一些离散属性值,区间化,便于建立分支

• 可选的策略:

        • I.选择相邻但有不同决策的值的中间值 2

            上图48与60,80与90之间yes no变了,我们可以取中间值

            (Fayyad 在1991年证明了满足这样条件的阈值可以信息增益IG最大化)

        • II. 考虑概率 gif.latex?x_%7Bs%7D%3D%281-P%29x_%7Bl%7D+Px_%7Bu%7D 

             如正态分布概率密度函数图像,区间长短可以不同,但其面积/数量是相同的。

2. 具有过多取值的属性

问题:

• 偏差: 如果属性有很多值,根据信息增益IG,会优先被选择

        • e.g. 享受运动的例子中,将一年里的每一天作为属性(又变成像查表了)

• 一个可能的解决方法: 用 GainRatio (增益比)来替代

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3. 未知属性值

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有的特征我们不知道是什么,可以把不知道的选成常见的,或者根据概率赋值。

4. 有代价的属性

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即如果feature多,IG可以除以一个惩罚项,有代价可以除以cost...

六、其他信息

• 决策树可能是最简单和频繁使用的算法

        • 易于理解

        • 易于实现

        • 易于使用

        • 计算开销小

• 决策森林:

        • 由C4.5产生的许多决策树

• 更新的算法:C5.0 http://www.rulequest.com/see5-info.html

• Ross Quinlan的主页: http://www.rulequest.com/Personal/

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