【DFS经典例题】2n皇后问题

问题描述

给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？n小于等于8。

输入格式

输入的第一行为一个整数n，表示棋盘的大小。
　　接下来n行，每行n个0或1的整数，如果一个整数为1，表示对应的位置可以放皇后，如果一个整数为0，表示对应的位置不可以放皇后。

输出格式

输出一个整数，表示总共有多少种放法。

样例输入
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
样例输出
2

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先来解读一下题意：我们需要在一个n<8的n*n的棋盘上放两个颜色的皇后，同一行或列、同一斜线上不能有同一种颜色的皇后。跟经典的八皇后问题类似，我们可以用递归或者回溯。
题目中的实例讲的很明白，我就不多重复了。我们做这样的算法题，主要目的就是让程序按照相应的步骤来执行，所以说我们只需要按照他给定的思路一步步的写下去即可。
首先，我们需要定义两个全局变量，一个是用来存储棋盘的二维数组，一个是记录有多少种方法的answer
我们假设黑皇后用2表示，白的用3表示，下面就是遍历棋盘，符合条件的标注为相应的数字。

• 这里有这样几个难点：首先，我们需要怎样遍历才能完美的判断出皇后的位置？其次，判断是否符合条件时我们的思路以及相应的程序是怎样的？

1. 第一个问题：

我上面提到了，我们在这里用到的是回溯和递归，我们定义的这个方法需要传两个参数，第一个是n，也就是从第n行开始，第二个是d，也就是皇后的颜色，在这里d只能取2和3。
我们初次调用此方法是先放黑皇后，d一开始等于2，进来之后是个for循环，先假设第一个没有棋子的地方符合，标记之后判断是否符合，如果符合，进入下一行，如果不符合，取消标记，并继续循环查看本行的下一个位置。

• 注意，如果符合，我们要递归调用本方法而不是继续循环；如果不符合我们需要取消标记并继续循环，不要混了。不符合的情况用到了回溯，符合以及后面的一个情况用到了递归。

检查完黑皇后之后，我们让d变成3继续上面的操作，符合相应的条件后便退出程序显示结果，我相信大家应该可以看明白这些地方。

2. 第二个问题：

判断是否符合条件，这里需要特别注意设定的边界值，防止数组角标越界。

• 我们需要特别判断同一列，左斜上方，右斜上方。斜下方就不需要了，因为我们放棋子是从上往下放的，下面是不可能有的。

每一次判断的依据就是这一行或列是否有与这个位置相同的数字。用三个for循环分别实现这个功能即可。

代码：

import java.util.Scanner;

public class NdfsExer {
	
	static int[][] arr;
	static int ans = 0;
	
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
//		if(n > 8) {
//			return;
//		}
		arr = new int[n][n];
		for(int i = 0;i < n;i++) {
			for(int j = 0;j < n;j++) {
				arr[i][j] = sc.nextInt();
			}
		}
		//黑皇后用2表示，白皇后用3表示
		dfs(0,2);
		
		System.out.println(ans);
	}

	private static void dfs(int n, int d) {
		if(n == arr.length) {//判断一种皇后是否已遍历完成
			if(d == 3) {
				ans++;//说明黑白都看完了，ans++
			}
			dfs(0,3);//递归遍历白皇后
			return;
		}
		
		for(int i = 0;i < arr.length;i++) {
			if(arr[n][i] == 1 && arr[n][i] != 2) {
				arr[n][i] = d;
				if(check(n,i)) {
					dfs(n + 1,d);//本行结束，递归进入下一行
				}
				arr[n][i] = 1;//回溯
			}
		}
	}

	private static boolean check(int x, int y) {
		//判断是否在同一列
		for(int i = 0;i < x;i++) {
			if(arr[i][y] == arr[x][y]) {
				return false;
			}
		}
		
		//判断左斜上方
		for(int i = x-1,j = y-1;i >= 0 && j >= 0;i--,j--) {
			if(arr[i][j] == arr[x][y]) {
				return false;
			}
		}
		
		//判断右斜上方
		for(int i = x-1,j = y+1;i >= 0 && j < arr.length;i--,j++) {
			if(arr[i][j] == arr[x][y]) {
				return false;
			}
		}
		
		return true;
	}
}

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