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射影矫正的目的是消除平面的透视图像中的射影失真,使得原始平面的相似性质(角度,长度比)可以被测量。
1.由图像恢复仿射性质
结论 1: 在射影变换
H
H
H下,无穷远直线
l
∞
l_{\infty }
l∞为不动直线的充要条件是
H
H
H是仿射变换。
证明:
l
∞
′
=
H
A
−
T
l
∞
=
[
A
−
T
0
−
t
−
T
A
−
T
1
]
[
0
0
1
]
=
[
0
0
1
]
=
l
∞
l_{\infty }^{'}=H_{A}^{-T}l_{\infty }=[A−T0−t−TA−T1][001]=[001]=l_{\infty }
l∞′=HA−Tl∞=[A−T−t−TA−T01]⎣⎡001⎦⎤=⎣⎡001⎦⎤=l∞
同理,逆命题也是正确的。
在平面的像中,一但无穷远直线的像得到辨认,就有可能对原平面进行仿射测量。如图1所示,直接把已辨认的
l
∞
l_{\infty }
l∞变换到它的规范位置
l
∞
=
(
0
,
0
,
1
)
T
l_{\infty }=(0,0,1)^T
l∞=(0,0,1)T。把实现此变换的(射影)矩阵应用于图像中的每一点以达到对图像进行仿射矫正的目的,即变换之后,仿射测量可以直接在矫正过的图像中进行。
图
1
仿
射
矫
正
图1仿射矫正
图1仿射矫正
如果无穷远直线的像是
I
=
(
l
1
,
l
2
,
l
3
)
T
I = (l_1,l_2,l_3)^T
I=(l1,l2,l3)T,假定
l
3
≠
0
,
那
么
把
l
映
射
回
l_{3}\neq 0,那么把l映射回
l3=0,那么把l映射回
l
∞
=
(
0
,
0
,
1
)
T
l_{\infty }=(0,0,1) ^T
l∞=(0,0,1)T的一个合适的射影点变换是:
H
=
H
A
[
1
0
0
0
1
0
l
1
l
2
l
3
]
H=H_{A}[100010l1l2l3]
H=HA⎣⎡10l101l200l3⎦⎤
直线上的距离比
给定一条直线上有已知长度比的两个线段,该直线上的无穷远点便可以确定。
2.虚圆点及其对偶
虚圆点 每一圆周与
l
∞
l_{\infty }
l∞相交的点称为虚圆点。
在二次曲线为圆时有
a
=
c
a=c
a=c且
b
=
0
b = 0
b=0。取
a
=
1
a=1
a=1则:
x
1
2
+
x
2
2
+
d
x
1
x
3
+
e
x
2
x
3
+
f
x
3
2
=
0
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dx_{1}x_{3}+ex_{2}x_{3}+fx_{3}^{2}=0
x12+x22+dx1x3+ex2x3+fx32=0
该二次曲线相交与
l
∞
l_{\infty }
l∞于( 理想) 点(
x
3
=
0
x_3 = 0
x3=0):
x
1
2
+
x
2
2
=
0
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 0
x12+x22=0
解得 I = ( 1 , i , 0 ) T I=(1,i,0)^T I=(1,i,0)T , J = ( 1 , − i , 0 ) T J=(1,-i,0)^T J=(1,−i,0)T
结论2 在射影变换
H
H
H下 . 虚圆点
I
I
I和
J
J
J为不动点的充要条件是
H
H
H是相似变换。
证明
虚圆点(也称绝对点)
I
=
(
1
,
i
,
0
)
T
I=(1,i,0)^T
I=(1,i,0)T ,
J
=
(
1
,
−
i
,
0
)
T
J=(1,-i,0)^T
J=(1,−i,0)T在保向相似变换下:
I
′
=
H
S
I
=
[
s
c
o
s
θ
−
s
s
i
n
θ
t
x
s
s
i
n
θ
s
c
o
s
θ
t
y
0
0
1
]
(
1
i
0
)
=
s
e
−
i
θ
(
1
i
0
)
=
I
I'=H_{S}I=[scosθ−ssinθtxssinθscosθty001](1i0)=se^{-i\theta }(1i0)=I
I′=HSI=⎣⎡scosθssinθ0−ssinθscosθ0txty1⎦⎤⎝⎛1i0⎠⎞=se−iθ⎝⎛1i0⎠⎞=I
同理$ J $也可证明。
与虚圆点对偶的二次曲线 C ∞ ∗ = I J T + J I T C_{\infty }^{*}=IJ^T+JI^T C∞∗=IJT+JIT
结论 3 对偶二次曲线
C
∞
∗
C_{\infty }^{*}
C∞∗在射影变换
H
H
H下不变的充要条件是
H
H
H是相似变换。
此外,在任何射影框架下,对偶二次曲线
C
∞
∗
C_{\infty }^{*}
C∞∗还具有以下性质:
3.射影子面上的夹角
在欧氏几何中,两线间的夹角由它们法线的点乘来计算。直线
I
=
(
l
1
,
l
2
,
l
3
)
T
I = (l_1,l_2,l_3)^T
I=(l1,l2,l3)T和
m
=
(
m
1
,
m
2
,
m
3
)
T
m= (m_1,m_2,m_3)^T
m=(m1,m2,m3)T的法线分别平行于$ (l_1,l_2)^T
和
和
和 (m_1,m_2)^T$,其夹角为:
c
o
s
θ
=
l
1
m
1
+
l
2
m
2
(
l
1
2
+
l
2
2
)
(
m
1
2
+
m
2
2
)
cos\theta =\frac{l_1m_1+l_2m_2}{\sqrt{(l_{1}^{2}+l_{2}^{2})(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}}
cosθ=(l12+l22)(m12+m22)
l1m1+l2m2
在射影变换下不变的公式为:
c
o
s
θ
=
l
T
C
∞
∗
m
(
l
T
C
∞
∗
l
)
(
m
T
C
∞
∗
m
)
cos\theta =\frac{l^TC_{\infty }^{*}m}{\sqrt{(l^TC_{\infty }^{*}l)(m^TC_{\infty }^{*}m)}}
cosθ=(lTC∞∗l)(mTC∞∗m)
lTC∞∗m
其中 C ∞ ∗ C_{\infty }^{*} C∞∗是与虚圆点对偶的二次曲线。
结论4 一旦二次曲线 C ∞ ∗ C_{\infty }^{*} C∞∗在射影平面上被辨认,那 么欧氏角可以测量。
结论5 如果 l T C ∞ ∗ m = 0 l^TC_{\infty }^{*}m=0 lTC∞∗m=0, 则直线 l l l和 m m m正交。
结论6 一旦二次曲线 C ∞ ∗ C_{\infty }^{*} C∞∗在射影平面上被辨认,长度比同样可以测量。
###4.由图像恢复度量性质
把虚圆点变换到它们的标准位置,就可以由平面的图像恢复度量性质。对偶二次曲线 C ∞ ∗ C_{\infty }^{*} C∞∗几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分,而只留下相似变换的失真。
结论7 在射影平面上,一旦 C ∞ ∗ C_{\infty }^{*} C∞∗辨认, 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。
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