平衡二叉搜索树 -- AVL树_avl树时间复杂度

AVL树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序的二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此俄罗斯的两位数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当二叉搜索树插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差 的绝对值不超过1，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一颗AVL树或者是空树 或者具有以下性质的搜索二叉树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树的高度之差（简称为平衡因子）的绝对值不超过1 （-1，0，1）

AVL树平均高度大概是1.44logN + c，c是常数，搜索的时间复杂度是 o（logn）

2.1 AVL树的实现

template<class K ,class V>
struct AVLTreeNode
{	
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv  = pair<K,V>())
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	    ,_kv(kv)
	{}

};
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AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{	
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{	
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}


		}
		//
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新bf；
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
				//向上调查一下
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//出问题，需要旋转！
				
				break;
			}
			else
			{
				cout << "平衡因子出现异常" << endl;
				assert(false);
			}


		}

		return true;

	}
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2.2 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* ppNode = parent->_parent;//记录原parent节点的parent
		Node* subL = parent->_left; subL为左根
		Node* subLR = subL->_right;subLR为左根的右子树根
		parent->_left = subLR;
		if (subLR) //subLR有可能为空
			subLR->_parent = parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{   // 判断是左子树还是右子树，进行链接
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		//更新平衡因子  balance factor
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;

	}
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2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* ppNode = parent->_parent;
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
				
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}


			subR->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
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3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		//复用
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = parent->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			assert(-1);
		}

	}
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4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(0);
		}

	}
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参考右左双旋。
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
   当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
   当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
   旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
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AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。