二元函数可微与偏导数_2020.5.6 | 考研数学—多元函数微分学重要考点攻克

多元函数在考研数学中算比较难的部分，很多同学在复习的时候普遍反应多元函数做题难，不容易得分等情况，今天小编整理了多元函数掌握需要了解的重要考点及复习应对方法。

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考试内容

多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质、多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件 、多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线、二元函数的二阶、泰勒公式、多元函数的极值和条件极值、多元函数的最大值、最小值及其简单应用 。

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考试要求

1、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 2、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。 3、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 4、掌握多元复合函数偏导数的求法，会求隐函数的偏导数。 5、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求多元函数的最大值和最小值及一些简单的应用问题。 重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全微分的概念及计算复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算。 空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数极值。 难点是多元复合函数的求导法，二函数的泰勒公式。

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学习方法

1.深刻理解概念

在多元函数微分学的知识体系中，最重要的就是对基本概念的理解。 也就是要理解多元函数的极限，连续，可导与可微。 首先，大家对极限的理解很关键。 它与一元部分是有区别的。 以二元函数为例，大家要清楚逼近方式的任意性，而一元函数中就两个方向。 所以一般考研考二元函数极限就是问大家这个极限是否存在，那么大家就选取两个方向来说明就够了。 至于连续，把极限搞清楚了，连续就不是问题了。 然后，可导的概念。 还是以二元函数为例。 二元函数有两个变量，那么可导就是说的偏导数。 基本思想是： 求一个变量的导数那么就固定另外一个变量。 所以实质上还是求一元函数的导数。 至于可微的思想可以直接平移一元的。 虽然有些变化，但是基本的形式是一样的。 最后，三者关系。 这是相当重要的一个点。 具体来说，可微可以推出可导和连续，而反之不成立。 希望大家不仅要记住结论，还要知道为什么是这样的关系。 大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。 在大家深刻理解了这些概念后，后面的内容就偏向计算了。

2.培养计算能力

在前面，我说了对基本概念理解的重要性。那么，说完概念，这章考查的重点还是计算。计算实质上就是多元函数微分学的应用。它主要包括偏导数的计算;方向导数与梯度;二元函数极值(无条件与条件)。其实考查计算对大家来说是最容易的考法。因为大家只要懂方法就够了，不用理解方法怎么来的。具体来说，计算偏导数，特别是高阶偏导数，大家只要掌握了链式法则就够了。同时掌握下高阶导数与求导次序无关的条件。至于计算方向导数与梯度，大家就需要知道它的含义，然后记住两个公式就行了。最后是二元函数的极值。它分为无条件极值和有条件极值。先说无条件极值。大家可以把它跟一元函数极值做个类比。这样会学的轻松些。至于条件极值，大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。所以，这章对大家的计算能力要求很高。大家一定要沉下心仔细体会方法，然后多做练习就够了。

3.适量习题

在大家理解了基本概念以及明确了计算方法后，接下来就需要做题巩固了。在这里，我尤其反对题海战术，因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之前是没用的。现在社会做事情都讲究高效，我希望大家能够事半功倍。那么针对多元函数微分学这章，大家先针对我说的重点知识进行做题巩固，关键是每做一个题就要理解，要反思，要多想想考察了知识点那些方面。然后对次重点知识辅助做一些题，了解就够了。

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多元函数微分法及其应用

1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。 反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。 例如函数： f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0 2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。 性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。 性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。 这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。 4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。 5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。 6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。 定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值;(2)AC-B2

7、多元函数极值存在的解法 (1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。 (2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0，y0)是否是极大值、极小值。 注意： 在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。 总之，希望大家通过以上的方法能够学习好多元函数微分学，争取在后面的考试中能够取得高分。