ESL第十一章 神经网络 投影追踪回归/岭函数/通用近似、径向基函数网络、随机近似/共轭梯度/变量度量、权重消去、信噪比计算、贝叶斯神经网络/贝叶斯推断/混合蒙特卡罗洛/哈密顿动力学/自动相关确定_投影追踪回归网络模型

11.1 导言

• P389 投影追踪模型projection pursuit model是在半参统计和光滑领域中发展来的

11.2 投影追踪回归Projection Pursuit Regression

• P389 投影追踪回归projection pursuit model(PPR)模型的问题定义
  

• P390 岭函数ridge function

• P390 通用近似universal approximator

• P390 单指标模型single index model，计量经济学econometrics中的叫法。$M=1$的PPR。该模型比线性回归更加一般，也提供了一个类似的可解释性。而当$M>1$时的诸多模型，解释性就很差，像神经网络一样

• P391 对于$M=1$，采用交替优化$g$和$\omega$的方式进行，关于$g$当作是一个一维光滑问题，对于$\omega$，则用一阶泰勒展开近似，导出带权线性回归。对于多个$M$，则采用前向分段的方式，每次引入一对$({\omega }_m,g_m)$。其中的光滑$g$，能求导最好，所以多用局部回归和光滑样条。通常${\omega }_m$没有被重新调整，没有backfitting过程

• P392 14.7节的ICA和探索型投影追踪exploratory projection pursuit有关系

11.3 神经网络

• P392 径向基函数网络radial basis function network：高斯径向基作为激活函数
• P394 含一个隐藏层的神经网络实际上与PPR是类似的，区别在于PPR采用非参函数$g_m(v)$，神经网络采用固定的$\sigma (v)$，以及额外的第二层参数${\beta }_m$，还有第一层截距项和范数。公式11.7给出描述。由于PPR泛函空间大，所以用的项可能更少，例如$M=5,10$之类的

11.4 拟合神经网络

• P396 反向传播等式back-propagation equations
• P397 反向传播也叫做delta rule
• P397 学习率可以通过在每次更新时运用线搜索最小化误差函数来优化
• P397 学习的随机近似stochastic approximation形式，如果学习率满足Robbins and Munro算法的条件，无穷趋于0，一次和趋于无穷，二次和收敛，则神经网络保证收敛
• P398 二阶技巧矩阵太大，更好的拟合方式包括共轭梯度法conjugate gradients和变量度量方法variable metric methods，避免计算二阶矩阵，仍能很快收敛

11.5 训练神经网络中的一些问题

11.5.1 初始值

• P397 初始值设为0左右，网络一开始是退化成近似线性模型。之后会不断引入非线性

11.5.2 权重衰减

• P398 权重衰减weight decay
• P398 权重消去weight elimination，比L2的权重衰减更能收缩系数
  

11.5.3 输入的缩放

11.5.4 隐层单元数和层数

11.5.5 多极小值

• P401·随机初始化参数，然后多训找最好的，或者对一系列预测值进行平均。另一种方式bagging则对随机扰动（应该是bootstrap）的训练数据集进行训练得到

11.6 例子：模拟数据

• P401 信噪比计算公式
  
• P401 模拟两个sigmoid加性结果的神经网络回归，如果初始化不好，用两个隐藏层可能还拼不过直接线性回归，书上做了10个例子，有两个拼不过
• P402 加大正则化，确实管用（这里回想第三章，加一点正则化，虽然bias变大了，有偏了，但是variance可能降得很多，就如这里的例子所示，hidden layer多的时候之所以效果差就是因为variance太大了）

11.7 例子：邮编数字

• P407 提到了：正切距离方式tangent distance approach，会在3.3.3节讲
• P408 boosted LeNet-4，在手写数字上效果超过了经典的LeNet-5

11.8 讨论

• P408 神经网络适用于高信噪比和不需要解释的预测问题
• P409 神经网络是实值参数的连续函数，促使了贝叶斯推断bayesian inference的发展

11.9 贝叶斯神经网络和NIPS2003挑战

11.9.1 贝叶斯、提升和bagging

• P410 混合蒙特卡洛hybrid monte carlo、哈密顿动力学hamiltonian dynamics
• P411 自动相关确定automatic relevance determination筛选特征
• P411 bagging和boosting，与贝叶斯方法中的MCMC有一些相似之处。MCMC扰动参数、bagging扰动数据然后重新估计模型给出一组新的模型参数
  这些模型都可以写成如下形式
  

11.9.2 性能比较

• P413 bayse neural network、boosted tree、boosted neural network、random forest、bagged neural network性能大比拼
• P414 内部特征选择方法可能会提升boosted neural network，也即设计一种自然的、self-contained的特征筛选方式
• P414 贝叶斯神经网络慢啊

参考文献：
[1] Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman. The Elements of Statistical Learning, Second Edition
[2] ESL CN