深入理解XGBoost_xgboost 定义

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本文的主要内容概览：

1. XGBoost简介

XGBoost的全称是eXtreme Gradient Boosting，它是经过优化的分布式梯度提升库，旨在高效、灵活且可移植。XGBoost是大规模并行boosting tree的工具，它是目前最快最好的开源 boosting tree工具包，比常见的工具包快10倍以上。在数据科学方面，有大量的Kaggle选手选用XGBoost进行数据挖掘比赛，是各大数据科学比赛的必杀武器；在工业界大规模数据方面，XGBoost的分布式版本有广泛的可移植性，支持在Kubernetes、Hadoop、SGE、MPI、 Dask等各个分布式环境上运行，使得它可以很好地解决工业界大规模数据的问题。本文将从XGBoost的数学原理和工程实现上进行介绍，然后介绍XGBoost的优缺点，并在最后给出面试中经常遇到的关于XGBoost的问题。

2. XGBoost的原理推导

2.1 从目标函数开始，生成一棵树

XGBoost和GBDT两者都是boosting方法，除了工程实现、解决问题上的一些差异外，最大的不同就是目标函数的定义。因此，本文我们从目标函数开始探究XGBoost的基本原理。

2.1.1 学习第 t 棵树

XGBoost是由 $k$ 个基模型组成的一个加法模型，假设我们第 $t$ 次迭代要训练的树模型是 $f_t(x)$ ，则有：

2.1.2 XGBoost的目标函数

损失函数可由预测值 ${\hat{y}}_i$ 与真实值 $y_i$ 进行表示：
$$L=\sum _{i=1}^{n}l(y_i,{\hat{y}}_i)$$
其中， $n$ 为样本的数量。

我们知道模型的预测精度由模型的偏差和方差共同决定，损失函数代表了模型的偏差，想要方差小则需要在目标函数中添加正则项，用于防止过拟合。所以目标函数由模型的损失函数 $L$ 与抑制模型复杂度的正则项 $\Omega$ 组成，目标函数的定义如下：
$$Obj=\sum _{i=1}^{n}l(y_i,{\hat{y}}_i)+\sum _{i=1}^t\Omega (f_i)$$
其中， ${\sum }_{i=1}^t\Omega (f_i)$ 是将全部 $t$ 棵树的复杂度进行求和，添加到目标函数中作为正则化项，用于防止模型过度拟合。

由于XGBoost是boosting族中的算法，所以遵从前向分步加法，以第 $t$ 步的模型为例，模型对第 $i$ 个样本 $x_i$ 的预测值为：
$${\hat{y}}_i^{(t)}={\hat{y}}_i^{(t-1)}+f_t(x_i)$$
其中， ${\hat{y}}_i^{(t-1)}$ 是由第 $t-1$ 步的模型给出的预测值，是已知常数， $f_t(x_i)$ 是这次需要加入的新模型的预测值。此时，目标函数就可以写成：
O b j ( t ) = ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( t ) ) + ∑ i = 1 t Ω ( f i ) = ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( t − 1 ) + f t ( x i ) ) + ∑ i = 1 t Ω ( f i ) = ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( t − 1 ) + f t ( x i ) ) + Ω ( f t ) + c o n s t a n t

$$\begin{aligned} Obj^{(t)} &= \sum_{i=1}^{n}{l(y_{i},\hat{y}_{i}^{(t)})} + \sum_{i=1}^{t}{\Omega(f_{i})} \\ & = \sum_{i=1}^{n}{l(y_{i},\hat{y}_{i}^{(t-1)}+f_{t}(x_{i}))} + \sum_{i=1}^{t}{\Omega(f_{i})} \\ &=\sum_{i=1}^{n}{l(y_{i},\hat{y}_{i}^{(t-1)}+f_{t}(x_{i}))} + \Omega(f_{t}) +constant \end{aligned}$$ Obj(t)​=i=1∑n​l(yi​,y^​i(t)​)+i=1∑t​Ω(fi​)=i=1∑n​l(yi​,y^​i(t−1)​+ft​(xi​))+i=1∑t​Ω(fi​)=i=1∑n​l(yi​,y^​i(t−1)​+ft​(xi​))+Ω(ft​)+constant​
注意上式中，只有一个变量，那就是第 $t$ 棵树$f_t(x_i)$ ，其余都是已知量或可通过已知量可以计算出来的。细心的同学可能会问，上式中的第二行到第三行是如何得到的呢？这里我们将正则化项进行拆分，由于前$t-1$ 棵树的结构已经确定，因此前 $t-1$ 棵树的复杂度之和可以用一个常量表示，如下所示：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^t\Omega (f_i)& =\Omega (f_t)+\sum _{i=1}^{t-1}\Omega (f_i)\\ & =\Omega (f_t)+constant\end{array}$$

2.1.3 泰勒公式展开

泰勒公式是将一个在 $x=x_0$ 处具有 $n$ 阶导数的函数$f(x)$ 利用关于$(x-x_0)$ 的 $n$ 次多项式来逼近函数的方法。若函数$f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某个闭区间 $[a,b]$ 上具有 $n$ 阶导数，且在开区间 $(a,b)$ 上具有 $n+1$ 阶导数，则对闭区间 $[a,b]$ 上任意一点 $x$ 有：
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+R_n(x)$$
其中的多项式称为函数在 $x_0$ 处的泰勒展开式，$R_n(x)$ 是泰勒公式的余项且是 $(x-x_0{)}^n$ 的高阶无穷小。

根据泰勒公式，把函数