《统计学简易速速上手小册》第5章：回归分析（2024 最新版）

5.1 线性回归基础

线性回归是统计学中的一种基础分析方法，用于研究一个或多个自变量（解释变量）和因变量（响应变量）之间的线性关系。它像是一座桥梁，连接着变量之间的相互作用，让我们能够预测和解释现象。

5.1.1 基础知识

• 线性回归模型的建立：线性回归模型假设因变量和自变量之间存在线性关系。简单线性回归涉及一个自变量和一个因变量，其模型可以表示为 (Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon)，其中 (Y) 是因变量，(X) 是自变量，(\beta_0) 是截距，(\beta_1) 是斜率，而 (\epsilon) 是误差项。
• 最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化技术，用于确定线性回归方程的最佳拟合线。它通过最小化误差的平方和来找到回归系数（(\beta)值）的最佳估计。
• 回归诊断：回归诊断是评估线性回归模型是否满足建模假设的过程。它包括检查残差的正态性、同方差性、独立性和模型中是否存在异常值或影响点。

5.1.2 主要案例：员工薪资预测

场景：一家公司希望通过员工的工作经验来预测他们的薪资水平。

Python 示例：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建数据集
data = {'Experience': [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10],
        'Salary': [40000, 45000, 50000, 55000, 60000, 65000, 70000, 75000, 80000, 85000]}
df = pd.DataFrame(data)

# 建立线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(df[['Experience']], df['Salary'])

# 预测并绘图
plt.scatter(df['Experience'], df['Salary'], color='black')
plt.plot(df['Experience'], model.predict(df[['Experience']]), color='blue', linewidth=3)
plt.xlabel('Experience (Years)')
plt.ylabel('Salary')
plt.title('Salary Prediction based on Experience')
plt.show()
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5.1.3 拓展案例 1：广告支出与销售额关系

场景：一家公司想要分析其在不同广告渠道（如电视、广播和报纸）上的广告支出与销售额之间的关系。

Python 示例：

# 假设已有广告支出与销售额的数据集，这里使用简化的示例代码进行说明
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 建立多元线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(advertising_data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']], advertising_data['Sales'])

# 可以输出模型系数来分析每个广告渠道的影响力
print(model.coef_)
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5.1.4 拓展案例 2：房价与多个因素的关系

场景：房地产公司希望通过分析房屋的面积、卧室数量、年龄等因素来预测房价。

Python 示例：

# 假设已有房屋数据集，这里使用简化的示例代码进行说明
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 建立多元线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit

(housing_data[['Area', 'Bedrooms', 'Age']], housing_data['Price'])

# 可以输出模型系数来分析每个因素对房价的影响
print(model.coef_)
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通过这些案例，我们可以看到线性回归如何帮助我们在实际问题中建立预测模型和探索变量之间的关系。无论是简单的工作经验与薪资关系，还是复杂的广告支出与销售额、房价与多种因素的关系，线性回归都是一种强大且灵活的工具，能够为我们提供深入的洞见和可行的解决方案。

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5.2 多元回归分析

多元回归分析是探索和解读复杂世界的强大工具，它让我们能同时考虑多个因素对结果变量的影响。这就像是拥有一副多维度的眼镜，能够让我们看到变量之间复杂的相互作用。

5.2.1 基础知识

• 引入多个解释变量：多元回归分析允许我们包括多个自变量（解释变量），以研究它们如何共同影响因变量。这种方法能帮助我们更全面地理解数据，发现可能被单变量分析忽略的关系。
• 多重共线性问题：当两个或更多的解释变量高度相关时，就会出现多重共线性问题，这可能会影响回归模型的稳定性和准确性。识别和处理多重共线性是多元回归分析中的一个重要步骤。
• 交互作用和非线性关系：在现实世界中，变量之间的关系往往不是简单的线性关系，它们可能相互影响（交互作用）或以非线性方式影响因变量。多元回归分析可以包含这些复杂的关系，为我们提供更深入的见解。

5.2.2 主要案例：企业收益与多因素关系分析

场景：一家大型企业希望分析其收益与广告支出、市场规模、竞争强度等因素之间的关系。

Python 示例：

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import pandas as pd

# 假设有一个DataFrame，包含企业收益及其潜在影响因素
data = pd.DataFrame({
    'Revenue': [100, 150, 200, 250, 300],
    'Ad_Spend': [20, 25, 30, 35, 40],
    'Market_Size': [80, 85, 90, 95, 100],
    'Competition': [3, 3, 2, 4, 4]
})

# 建立多元回归模型
X = data[['Ad_Spend', 'Market_Size', 'Competition']]
y = data['Revenue']
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 输出模型系数
print("Coefficients:", model.coef_)
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5.2.3 拓展案例 1：房价影响因素分析

场景：房地产分析师希望了解房屋特征（如面积、卧室数量、地理位置）如何影响房价。

Python 示例：

# 假设已有包含房屋特征和价格的DataFrame
# 此处代码省略数据准备步骤

# 建立多元回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(housing_data[['Area', 'Bedrooms', 'Location']], housing_data['Price'])

# 输出模型系数
print("Coefficients:", model.coef_)
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5.2.4 拓展案例 2：员工满意度因素分析

场景：企业HR希望通过分析员工的年龄、工作年限、职位级别等因素来了解哪些因素对员工满意度有重要影响。

Python 示例：

# 假设已有包含员工特征和满意度评分的DataFrame
# 此处代码省略数据准备步骤

# 建立多元回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(employee_data[['Age', 'Years_of_Service', 'Job_Level']], employee_data['Satisfaction'])

# 输出模型系数
print("Coefficients:", model.co

ef_)
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通过这些案例，我们可以看到多元回归分析如何帮助我们在复杂的现实世界中寻找变量之间的关系。它不仅可以揭示单个因素对结果的影响，还能帮助我们理解多个因素是如何共同作用的。多元回归分析是一把强大的工具，可以帮助我们在数据中发现模式，预测未来，并作出更加明智的决策。

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5.3 回归分析的应用

回归分析是一种强大的统计工具，广泛应用于经济学、公共卫生、营销研究等多个领域。它不仅能帮助我们理解变量之间的关系，还能预测未来事件的发生，为决策提供数据支持。

5.3.1 基础知识

• 预测与解释：回归分析可以用于预测某个变量的值，也可以用来解释不同变量之间是如何相互作用的。
• 定量分析：通过回归分析，我们可以定量地评估自变量对因变量的影响程度，例如，了解广告支出每增加一千元，销售额将增加多少。
• 决策制定：回归分析的结果可以帮助决策者评估不同策略的效果，制定更加科学的决策。

5.3.2 主要案例：影响房价的因素分析

场景：房地产公司希望了解哪些因素对房价有显著影响，以指导未来的房屋设计和定价策略。

Python 示例：

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 假设已有房屋数据集
data = pd.read_csv('housing_data.csv')

X = data.drop('Price', axis=1)  # 自变量
y = data['Price']  # 因变量

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 建立并训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 预测和评估
y_pred = model.predict(X_test)
print("Mean Squared Error:", mean_squared_error(y_test, y_pred))
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5.3.3 拓展案例 1：广告支出与销售额的关系

场景：一家公司想要评估其在不同广告渠道（电视、广播、在线）上的支出对销售额的影响。

Python 示例：

# 假设已有广告支出和销售额的数据集
# 此处代码省略数据准备步骤

model = LinearRegression()
model.fit(ad_data[['TV', 'Radio', 'Online']], ad_data['Sales'])

# 输出模型系数来评估每个广告渠道的影响力
print("Coefficients:", model.coef_)
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5.3.4 拓展案例 2：教育投资对经济增长的影响

场景：政府部门希望通过分析教育投资与经济增长之间的关系，来制定未来的教育政策。

Python 示例：

# 假设已有包含教育投资和经济增长数据的DataFrame
# 此处代码省略数据准备步骤

model = LinearRegression()
model.fit(education_data[['Education_Investment']], education_data['Economic_Growth'])

# 输出模型系数来评估教育投资对经济增长的影响
print("Coefficient:", model.coef_[0])
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通过这些案例，我们可以看到回归分析如何在不同领域内应用，帮助我们解决实际问题。无论是在房地产、广告还是教育政策等领域，回归分析都能为我们提供深入的洞见和强有力的数据支持，使决策过程更加科学和高效。使用Python进行回归分析，不仅能快速得到结果，还能通过各种库轻松实现数据的处理和模型的评估。