质数——数学知识（c++）_c++质数

一、定义

若一个正整数无法被除1和它自身以外的自然数整除，则该数为质数（或素数），否则该数为合数。
1既不是质数也不是合数。
由定义可得质数的一个性质：只有1和它本身两个因数。
补充：对于一个足够大的整数N，不超过N的质数大约有N/㏑N个。即每㏑N个数中有1个质数。

二、判定质数

根据定义：素数就是一个数除了1 和他本身没有其他因数的数叫做质数。
于是我们对于一个N,可以可以从2枚举到N−1，从而判断这个数是不是质数。

bool Is_prime(int n){
    if(n==1) return false;
    if(n==2) return true；
    for(int i=2;i<n;i++) 
    	if(n%i==0) return false;
    	return true;	
}
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时间复杂度O(n);
对于上述程序显然不能满足我们的需求，如N较大时，这样的程序肯定容易超时，要想办法优化以上程序。

优化

我们不难发现N的因数是成对出现的，所以对于任何一个整数N，我们只需要从1枚举到sqrt(N)就可以了。
于是代码如下：

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}
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时间复杂度o(sqrt(n))
ps.关于i<=n/i ： 如果当i很大，还直接计算i*i时，可能会爆int，而计算n/i就没有这个问题。

经典例题

AcWing 866. 试除法判定质数
给定n个正整数ai，判定每个数是否是质数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
共n行，其中第 i 行输出第 i 个正整数ai是否为质数，是则输出“Yes”，否则输出“No”。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：

2
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3

输出样例：

Yes
No
1
2

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    //列出i较小的因数
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//且是i的因数  
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        if (is_prime(x)) puts("Yes");
        else puts("No");
    }

    return 0;
}
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三、分解质因素

任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，即：

这里P1<P2<P3…<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。
这里有个性质：n中最多只含有一个大于sqrt(n)的因子。证明通过反证法：如果有两个大于sqrt(n)的因子，那么相乘会大于n，矛盾。证毕
于是我们发现最多只有一个大于sqrt(n)的因子，对其进行优化。先考虑比sqrt(n)小的，代码和质数的判定类似
最后如果n还是>1，说明这就是大于sqrt(n)的唯一质因子，输出即可。

试除法

我们可以扫描2~sqrt(N)之间的每一个整数d，若d能整除N，则从N中除掉所有的因子d，同时累计除去的d的个数。

因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了，所以在上述过程中能整除N的一定是质数，最终就得到了质因数分解的结果，易知时间复杂度为O(sqrt(N))。

特别的，若N每有被任何2~sqrt(N)的数整除，则N是质数，无需分解。

时间复杂度： o(n) --> o(sqrt(n))

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)//一定为质因子
        {
            int s = 0;//求质数的次数. 
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;//是否能被再次整除.
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
         //特判, 如果不是1那么就是那个较大的质因子.
        //最多只有一个大于sqrt(n)的质因子.
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}
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经典例题

AcWing 867. 分解质因数
给定n个正整数ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
对于每个正整数ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：

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输出样例：

2 1
3 1

2 3
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#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
    }

    return 0;
}


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四、筛质数

AcWing 868. 筛质数
给定一个正整数n，请你求出1~n中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中质数的个数。

数据范围
1≤n≤106
输入样例：

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输出样例：

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朴素筛法

把从2~n中的从小到大一次删掉每个数的倍数

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt;// primes[]存储所有素数
bool st[N];// st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}


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埃氏筛法

只把质数的倍数删掉

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt;// primes[]存储所有素数
bool st[N];// st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) {
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)//将i的所有倍数删掉（循环放在里面）
            st[j] = true;
           }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

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线性筛法

//算法核心：x                  仅会被其最小质因子筛去
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N];// st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        //假设primes[0]为n最小的质因子,i为最大的因数，
        //易知若primes[i]中i>0,则会进入循环后产生多余的标记。
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )//对于任意一个合数x，假设pj为x最小质因子，当i<x/pj时，一定会被筛掉
        {
            //标记;primes[j]一定是primes[j]*i的最小质因子
            st[primes[j] * i] = true;
            //表明primes[j]一定是i的最小质因子,没有必要再遍历,primes要小于等于i的最小质因子
            //这样能保证每个数遍历一遍,而没有重复
            if (i % primes[j] == 0) break;
             /*
            1.i%pj == 0, pj定为i最小质因子，pj也定为pj*i最小质因子
            2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i最小质因子
            */
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

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