50个概率题

1. 袜子抽屉

一个抽屉有红袜子和黑袜子，随机取出两支袜子都是红袜子的概率是0.5,(a)抽屉里最少有几只袜子？(b)如果抽屉中黑袜子的数量是偶数，抽屉里最少有几只袜子？
(a)4
(b)21

2. 连胜

为了激励小明的网球生涯，如果他在三盘中连赢2盘，他爹就给他奖励，小明每盘可从他爹和俱乐部冠军中选一个作为对手，但不能连续选择一个人2次，即“爹-冠军-爹”或“冠军-爹-冠军”。冠军的水平比他爹高。小明应该选择哪种顺序？

3. 轻浮的陪审员

三人陪审团中有2位以概率p独立地做出正确的决定，第三个人靠抛硬币做决定，最后以多数原则做出最后决定。另一个陪审团只有一个人，以概率p做正确决定。哪个陪审团更公正

4. 抛到6为止

平均需要掷几次色子才会掷出6？

• 解法1：
  
• 解法2：设平均需要掷m次色子才会掷出6，这是一个期望值。若第一次掷出的不是6（概率为q=1-p=5/6），则还需要掷m次，共掷m+1次；若第一次掷出6(概率为p=1/6)，则不需要再掷了，共掷1次。又总的期望应该是m，则有qx(m+1)+px1=m，解得m=1/p=6
• 解法3：
  这是一个伯努利过程，首次成功的总实验次数俯冲参数为p的几何分布，次数的期望为1/p=6

5. 方形中的硬币

在一个游戏中，一位玩家从5英尺的距离处抛掷一枚直径3/4英寸的便士到1平方英寸的方形桌面上。若便士完全落在桌子内，他将获得5先令，但无论输赢都不能拿回他的便士，如果便士落在桌子上，他赢的机会有多大。
不知道我翻译错没有，答案是1/16。

6. Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck是一种赌博游戏，玩家可给1，2，3，4，5，6中的任意数字下注，可同时给不同的数字下不同的筹码。庄家抛3个色子，若玩家的数字出现在1个，2个或3个色子中，他将相应地赢取所下注筹码的1倍、2倍、3倍，并赢回自己的筹码，否则输掉他下注的筹码。玩家们每单位筹码的期望损失是多少？
这个问题的理解有点难度，容易以玩家的角色带入，若把问题看作庄家每单位筹码的期望盈利是多少则会简单很多。这样我们可以合理地假设所有玩家给每个数字下注的机会是均等的，把所有玩家抽象为一个玩家，他每次给1,2,3,4,5,6都下注一个单位的筹码。

1. 当我们(庄家)开出三个不同的数字时，玩家获利3个单位，同时损失3个单位，我们没有盈利；这种情况第一个色子有6个数字可选，第二个有5个，第三个四个，有6x5x4=120种排列，每个色子有6种取法，三个色子共有6x6x6=216种排列，发生的概率是$120\over 216$；
2. 当我们开出2个一样的数字时，玩家获利3个单位，同时损失4个单位，我们盈利1个单位，平均每单位筹码盈利$1\over 6$个单位筹码；该情况下从3个色子中取2个作为一样的数字，有3种取法，这两个色子的有6个数字可选，第三个色子只有5个数字可选，有$(_2^3)$x6x5=90种排列，发生的概率是$90 \over 216$；
3. 当我们开出3个一样的数字时，玩家获利3个单位，同时损失5个单位，我们盈利2个单位，平均每单位筹码盈利${2 \over 6}={1 \over 3}$单位的筹码；这种情况在6个数字中选一个作为重复3次的数字，有6种取法，三个色子都只能从这个数字中选择，共6种排列，发生的概率是$6 \over 216$。

三种情况的概率之和为1，不会再有别的情况了。因此我们庄家的期望收益是

$$0 \times \frac{120}{216} + \frac{1}{6} \times \frac{90}{216} + \frac{1}{3} \times \frac{6}{216} = \frac{17}{216} \approx 0.0787$$ （比0.0398的50年中国国债收益高多了，还是不如房地产，果然是地产兴邦）。
因此玩家们的每单位筹码的损失是0.0787。 转轮相当于更多面的色子，指针或珠子停住的位置上的数字相当于色子开出的点数，比扔色子盈利更高，玩家损失更多, 所以说玩家还是要远离赌博。

7. 治疗强迫症赌徒

轮盘上有38个等可能的数字，如果玩家猜的数字中了，他将获得35倍的筹码以及他下注的筹码；否则输掉他下注的筹码。小明他爹不听小明的劝阻，总是在轮盘的13号位赌1块钱。为了帮助治疗他爹的强迫症，小明总是赌20块钱他爹将再36轮后亏本，（他爹亏本了就给小明20块钱，没亏本就挣小明20块钱），小明能让他爹吃到教训吗？

• 这个问题首先要搞清楚小明他爹在36轮后亏本的概率分布，什么情况下亏本，什么情况下不亏本。试着算一下，36轮中只要赢一次，$+35 \times 1 + (-1) \times 35=0$，他爹正好不亏，36轮全输了才亏本，因此他爹36轮后亏本的概率分布为

因此小明他爹从小明那盈利的期望：$20 \times 0.617 +(– 20) \times 0.383 = 4.68$

• 小明他爹每轮从赌场那盈利的期望：$35\times{1 \over 38} +(-1)\times{37 \over 38} = -{2 \over 38}$
  36轮后从赌场盈利的期望：$-{2 \over 38} \times 36 \approx -1.89$
• 最后，小明他爹36轮后盈利的总期望：$4.68 – 1.89 = 2.99$

哈哈，看来小明可能先吃到教训。不过要是小明运气好的话，可能小明他爹在第一次亏掉36+20=56块钱之后就不玩了。

8. 一手完美桥牌

桥牌一般是扑克去掉大小王后的52张牌，4位玩家每人发13张牌。我们常听说某人被发了13张同花顺。在一副洗好的桥牌里获得一手同花顺的概率是多少？

$$\frac{4(^{13}_{13})}{(^{52}_{13})}=6.299 \times 10^{-12}$$

9. Craps

Craps，也就是掷骰子，是美国玩起来最快也最流行的赌博游戏。每次掷2个骰子并合计点数，先掷出7或11的获胜，一旦掷出2,3或12则输了。掷出了其他的点数称为point，如果你先掷出的是point，那么你需要一直掷骰子直到你再掷出一次同样的point就算赢，掷出7则算输。每个玩家赢的概率有多大？

• 2个骰子的和的分布律：

• 第一次掷骰子情况

掷出point之后，需要重复掷骰子，虽然每次掷骰子有三种情况，输、赢和“再来一次”。但是总的来说你只有2个结果，输或者赢。如果你第一次掷的point是4，那么往后你掷出4就赢，掷出7就输，所以你赢的(条件)概率为p4/(p4+p7)=(3/36)/(3/36+6/36)=1/3，你可以理解为：将没事的情况里无限细分，最后所有赢的概率的和的极限就是1/3。其他的条件概率同理有：
5：p5/(p5+p7) = (4/36)/(4/36+6/36) = 2/5
6：p6/(p6+p7) = (5/36)/(5/36+6/36) = 5/11
8：p8/(p8+p7) = (5/36)/(5/36+6/36) = 5/11
9：p9/(p9+p7) = (4/36)/(4/36+6/36) = 2/5
10：p10/(p10+p7) = (3/36)/(3/36+6/36) = 1/3

因此总的来说赢的概率为
8/36 + (3/36 x 1/3 + 4/36 x 2/5 + 5/36 x 5/11 + 5/36 x 5/11 + 4/36 x 2/5 + 3/36 x 1/3) ≈0.49293

那么玩家没单位筹码的盈利期望为：1x(1-0.49293) +(– 1)x0.49293 = -0.01414, 每单位筹码的损失率是1.41%

再回头来看看条件概率的计算。假设你掷出point（赢）的概率为P，再算上你掷出7（输）的概率为6/36，那么你“再来一次”的概率为R=1-P-6/36。因此从第二次掷骰子开始(包括第二次)，你赢的概率为
P+RP+R2P+R3P+… = P(1+R+R2+R3+…) = P/(1-R) = P/[1-(1-P-6/36)] = P/(P+6/36)，与上面的计算相同。

10. 个人对于赌注的承受实验

(a) 瓮中有10个黑球和10个白球，你指定颜色黑或白，再随机取球，若球的颜色和你指定的颜色匹配，你赢的10块钱。如果玩这个游戏需要花钱，你最多愿意花多少钱去玩这个游戏，假设只玩一次。
(b) 有的朋友有许多黑球和白球，他随意往瓮里求了若干白球和黑球，这次你最多愿意花多少钱玩？
A能算出期望，是5块钱，但是大部分人真不愿意付出5块钱，就玩一次，大多数人估计只愿意付出几毛钱或者几分钱。这个赌博游戏要是真设计成这样，玩一次只要几毛钱，黑白球比例还是1:1，那么庄家肯定要亏惨，但是你要玩家至少出5块钱那肯定没人玩。
(b) 和a一样，你猜中的概率是0.5，就算瓮里全部是黑球，在你不知道的情况下，你的选项还是2个，猜中的概率还是0.5。不过这游戏恐怕更没人玩了，条件太少了，让人觉得根本就是瞎扯。哈哈，实际上两个游戏一样都是瞎猜。

11. 沉默的合作

两个陌生人被分开地要求从所有数字中选择一个正数，如果两个人选择的数字恰好相同则会获得奖励，你会选择哪个数字？
这听起来像是个0概率事件。但是这种选择不是随机选择，每个数字对人们的吸引力是不一样的。一想到要选一个别人也很可能会选择的数，没人会选择超过个位数的数，1最自然的想法，也是最多被选择的数，有的人也选择3和7。

12. Quo Vadis? (拉丁语，你去往何处？)

2个仅通过密码联系的陌生人约定星期四中午12点在纽约会面，准备干一票大的。他们都不熟悉纽约，结果这俩2逼出发后才发现他们忘记约定在纽约的那里会面。然而他们还是想见面，你说他们会去哪里？
帝国大厦，机场，火车站信息台，自由女神像，时代广场，都是1964年能想到的地方。 当陌生人知道到达那里是多么困难的时候，自由女神像就会被排除。 机场距离城市距离很远也会被排除。 在我(作者)看来，有两个重要的火车站将被排除。 这将留下帝国大厦或时代广场。 我会选择帝国大厦，因为时代广场日益庞大。 我认为如果他们在旧金山或巴黎见过面，他们的问题会更容易，不是吗？

13. 囚犯的抉择

A,B,C三位申请假释的囚犯，有着同样良好的记录。假释委员会通过了其中2位囚犯的申请，但是囚犯们还不知道是他们3人中的哪2位。囚犯A有个预警朋友知道谁将被允许假释。囚犯A觉得不太好意思直接问自己是否被释放，于是他想问B和C是否被释放。他认为他现在被释放的概率是2/3，一旦预警回答”B将被释放”，那么它自己被释放的概率就变成了1/2。因此A打消了问预警的念头，他害怕自己被释放的概率减小。这种想法显然是错误的，请问错在哪？
他的样本空间考虑错了
谁被释放这是一个事件m：A,B,C被释放的情况有AB, AC, BC三种情况，
再考虑另一个事件n：预警回答B或C, (A只询问预警B和C的情况)
根据贝叶斯公式，当预警说B被释放时，A被释放的后验概率为

$$\begin{eqnarray}P(m=AB│n=B) &=& \frac{P(m=AB,n=B)}{P(n=B)}\\ &=& \frac{P(m=AB) \times P(n=B│m=AB)}{P(m=AB)\times P(n=B│m=AB)+P(m=BC) \times P(n=B│m=BC)}\\ &=& \frac{{1 \over 3} \times 1}{{1 \over 3} \times 1+{1 \over 3} \times {1 \over 2}}\\ &=& {2 \over 3}\\ \end{eqnarray}$$

14. 收集优惠券

麦片盒中的优惠券有1至5号，每盒麦片里都有一张优惠券，获得每种优惠券的机会均等，集齐这5种优惠券可以得到一个奖励，平均买多少盒麦片可以集齐一套优惠券？

这跟做多少次实验首次成功差不多，可以把这个问题看作五段伯努利过程，每一段的参数不一样：

1. 第一段伯努利过程中，获得所需优惠券的概率为1，因此只需买1盒；
2. 第二段伯努利过程，因为已经得到一种优惠券了，我想要的优惠券变为剩下的四种，所以获得所需优惠券的概率为4/5，伯努利过程中首次成功的实验次数服从参数为p几何分布, 其分布列为
   
   $$P(k) = p(1-p)^{k-1}, k=1,2,…$$ 几何分布的期望为1/p,因此获得第二种所需优惠券需要买1/p=1/(4/5)=5/4=1.25盒;
3. 第三段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为3/5，需要买5/3=1.67盒;
4. 第四段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为2/5，需要买5/2=2.5盒;
5. 第五段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为1/5，需要买5/1=5盒;

至此收集完5中优惠券平均共需买麦片
1+1.25+1.67+2.5+5= 11.42盒

15.音乐会的一排座位

8位单身汉和7位美丽的模特随机坐在音乐会中一排座位中的任意位置。平均出现几对男女邻座？
1对邻座刚好坐着一对男女的情况为“男女”或“女男” ，发生的概率是
8/15×7/14+7/15×8/14=8/15
也就是说，1对邻座平均坐着1×8/15+0×(1-8/15)=8/15对男女。15个座位共有14对邻座，根据和的期望等于期望的和，14对邻座中男女对数的期望等于1对邻座的男女对数期望的14倍。因此15个座位产生的男女对数为14*8/15=7.4667对

16.第二好能成为亚军吗？

8位运动员参加网球比赛，赛程如下图

假设每场比赛的胜负只有运动员的水平决定。最好的运动员一定获得冠军，那么第二好的运动员获得亚军的概率是多少？
4/7，第二好的运动员要获得亚军必须在finals才与第一好相遇，那么他在第一轮要被分在和第一好不同的另一半边。第一好占了一个位置，所以是4/7

17. 双胞胎骑士

（a）亚瑟王举办Jousting比赛（两个骑士拿着长矛对冲），8位骑士参加，包括双胞胎Balin和Balan，依然按照16题中的赛程比赛，求他俩在比赛中相遇的概率?
这里不知道各个骑士水平谁好谁坏，只能假设每个骑士赢的概率都是1/2.
假设双胞胎中的一位被分在某个位置，不妨设为1，另一位和他在同一小组（如位置2）的概率为1/7, 而此时相遇大概率为1；
另一位和他在相邻的小组（如位置3或4）的概率为2/7, 而此时相遇大概率为1/4；
另一位在另一半大组（如位置5,6,7,8）的概率为4/7, 而此时相遇大概率为1/16；
因此他两相遇的概率为

$${1 \over7 } \cdot 1+{2 \over 7} \cdot {1 \over 4}+{4 \over 7} \cdot {1 \over 16}={1 \over 4}$$
（b）将(a)中的8改为 $2^n$?

或者:
$2^n$中的n表示要比赛n轮，若1人被随机分到这一大半边，另一人被分到另一大半边的概率为${2^{n-1} \over 2^n-1}$，其中一人杀到第n轮的概率为${1\over 2^{n-1}}$ ，两人都杀到第n轮的概率为${1\over 2^{n-1}}\cdot {1\over 2^{n-1}}={1\over 2^{2(n-1)}}$，所以两人在第$n$轮相遇的概率为

$$\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\cdot \frac{1}{2^{2(n-1)}}$$
两人在第$i$轮相遇的概率为
$$\frac{2^{i-1}}{2^n-1}\cdot \frac{1}{2^{2(i-1)}}$$
相遇的总概率为第$1,2,3,…,n$轮相遇的概率之和

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\frac{2^{i-1}}{2^n-1}\cdot \frac{1}{2^{2(i-1)}} =\frac{1}{2^n-1}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^{i-1}} =\frac{2}{2^n-1}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i} =\frac{2}{2^n-1}(1-\frac{1}{2^n})=\frac{1}{2^{n-1}} \end{aligned}$$

18.抛均匀的硬币

抛100次硬币，正好50次正面朝上的概率？
很简单，二项分布

$$p=\binom{100}{50}({1\over2})^{100}=\frac{100!}{50!50!}({1\over2})^{100}$$
难点是没有计算器怎么办？
根据斯特林公式（Stirling’s approximation）
$$n! \approx \sqrt{2\pi}n^{n+{1\over2}}e^{-n}$$
有时也能简便一点

19.艾萨克·牛顿帮助塞缪尔·佩皮斯

佩皮斯写信给牛顿问下面那件事是最可能发生的
（a） 掷6个骰子，至少得到1个6
（b） 掷12个骰子，至少得到2个6
（c） 掷18个骰子，至少得到3个6

20. 三角决斗

A，B和C玩三角手枪决斗。 所有人都知道，A的命中率是0.3，C是0.5，B不会失误。 他们将按照A，B，C循环的顺序自由选择目标决斗，直到最后一个人活下来。A的策略应该是什么？

如上图，若A先射C, A赢的概率是0.21，若A先射击B, A赢的概率将大于0.21. 因此A应先射B。此时的局面是AC互射，A赢的情况只可能为C一直射不中A, 而A在最后一次射击时射中了C, 因此A赢的概率为
C射1次A没射中, A第1次射就射死C: $0.5 \times 0.3 +$
C射2次A没射中, A第2次射才射死C: $0.5^2 \times 0.7 \times 0.3+$
C射3次A没射中, A第3次射才射死C: $0.5^3 \times 0.7^2 \times 0.3 +$
C射4次A没射中, A第4次射才射死C: $0.5^4 \times 0.7^3 \times 0.3 +$
…
这是个无穷递减等比数列求和，比值为0.5x0.7=0.35
$0.5 \times 0.3 \times (1+0.5 \times 0.7+(0.5 \times 0.7)^2+(0.5 \times 0.7)^3+…)=0.5 \times 0.3 \times \frac{1}{1-0.35}=3/13$
因此，若A先射B, A赢的概率为$0.21+0.3 \times 3/13=0.279$.
起码A的生还几率大了近7个点

21.放回抽样还是不放回抽样

两个装有红球和黑球的桶。A桶有2个红球和1个黑球，B桶有101个红球和100个黑球。桶被随机选择。在第一个球被取出并报告颜色后你可以决定它是否放回原来的桶中（当然你看不到是哪个桶），再从这个桶中取出第二个球（2个球来自同一个桶），你根据这2个球的颜色判断它们来自哪个桶，判断对了可获得奖励。

如果第一个取出的球是红色，被取出球的桶剩余的红球数与黑球数相等，这样不好做判断，因此最好放回；若第一个取出的球是黑色，被取出桶中的黑球更少了，有利于我们根据期望判断。
假设第1次取出红球，放回红球，再取出又是红球。
如果球来自A桶，这种情况发生的概率为1/2*2/3*2/3=0.222
如果球来自B桶，这种情况发生的概率为1/2*101/201*101/201=0.126
当球来自A桶，这种情况发生的概率大，因此我们推断球来自A桶
同样地有