概率论——5 事件的独立性

事件独立性

描述性定义

设$A,B$为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响，则称事件$A$与$B$相互独立。

数学定义

数学定义其实可以由条件概率推导得到，当事件$A$与$B$独立时，$B$在$A$的条件下发生的概率应该等于$P(B)$，反之亦然，则可以得到下面的等式：
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B)$$
可以得到：
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
上式就是事件独立性的数学定义，即只要满足两个事件的积事件概率等于两个事件概率的乘积，则两个事件独立。该条件是充要的。

注：

1. 两事件相互独立和两事件互不相容二者不可能同时发生。
   $$\begin{gathered} P(AB)=P(A)P(B) \\ P(A)>0,P(B)>0,P(AB)>0 \end{gathered}$$
   但对于互不相容的两个事件，二者不可能同时发生：
   $$P(AB)=P(\varnothing )=0$$

2. 必然事件及不可能事件与任意事件相互独立。（易证）

相关定理

1. 设$A,B$是两事件，且$P(A)>0$，若$A,B$相互独立，则$P(B|A)=P(B)$​，反之亦然。

2. 若事件$A$与$B$相互独立，则$A,B$中任一事件换成逆事件后仍独立。
   P ( A B ˉ ) = P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A ) P ( B ) = P ( A ) [ 1 − P ( B ) ] = P ( A ) P ( B ˉ )

   $$\begin{align} P(A\bar B) &=P(A-B)\\ &=P(A)-P(A)P(B)\\ &=P(A)[1-P(B)]\\ &=P(A)P(\bar B) \end{align}$$ P(ABˉ)​=P(A−B)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(Bˉ)​​
   其他同理可证。

多事件独立性

注意区分两两独立和相互独立的区别，相互独立可推出两两独立，反之不成立。相互独立的条件更强。

例子：

设有4张卡片，分别标有数字1,2,3,4，现任取一张，设事件$A$：取到1或2，事件$B$：取到1或3，事件$C$：取到1或4

其实经过简单运算就可以得到$A,B,C$​两两独立，但不相互独立。