线性代数：增广矩阵学习笔记

线性代数：增广矩阵学习笔记

增广矩阵

定义

对于一个$n\times m$的矩阵$A=[a_{ij}]$，我们可以在它的右边加上一个$n\times 1$的列向量$b$，得到一个$n\times (m+1)$的矩阵 [ A ∣ b ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]，这个矩阵被称为$A$的增广矩阵。

A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] , [ A ∣ b ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m ∣ b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 m ∣ b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∣ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ∣ b n ] A=

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}$$ ,\quad $$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} & | & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} & | & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} & | & b_n \end{bmatrix}$$ A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1m​a2m​⋮anm​​ ​,[A​ ​​b​]= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1m​a2m​⋮anm​​∣∣∣∣​b1​b2​⋮bn​​ ​

示例

对于矩阵 A = [ 1 2 3 4 5 6 ] A=

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$$ A=[14​25​36​]和列向量$b=\left[\begin{array}{c}7\\ 8\end{array}\right]$，它们的增广矩阵为：

[ A ∣ b ] = [ 1 2 3 ∣ 7 4 5 6 ∣ 8 ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 7\\ 4 & 5 & 6 & | & 8 \end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]=[14​25​36​∣∣​78​]

线性方程组与增广矩阵

定义

一个线性方程组可以表示为$Ax=b$的形式，其中$A$是系数矩阵，$x$和$b$都是列向量。

设$A$为$m\times n$的矩阵，$x$和$b$都是$n$维列向量，则$Ax=b$是一个包含$m$个线性方程的线性方程组。这个线性方程组可以转化为增广矩阵 [ A ∣ b ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]的形式。

示例

下面的线性方程组可以表示为$Ax=b$的形式：

{ x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 1 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 2 7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 5

$$\begin{cases} x_1+2x_2-3x_3=-1\\ 4x_1+5x_2+6x_3=2\\ 7x_1+8x_2+9x_3=5 \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​x1​+2x2​−3x3​=−14x1​+5x2​+6x3​=27x1​+8x2​+9x3​=5​

对应的系数矩阵$A$和列向量$b$分别为：

A = [ 1 2 − 3 4 5 6 7 8 9 ] , b = [ − 1 2 5 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$ ,\quad b= $$\begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 5 \end{bmatrix}$$ A= ​147​258​−369​ ​,b= ​−125​ ​

将它们组合在一起，得到增广矩阵 [ A ∣ b ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]：

[ A ∣ b ] = [ 1 2 − 3 ∣ − 1 4 5 6 ∣ 2 7 8 9 ∣ 5 ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 4 & 5 & 6 & | & 2\\ 7 & 8 & 9 & | & 5 \end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]= ​147​258​−369​∣∣∣​−125​ ​

增广矩阵的初等行变换

定义

$3$种初等行变换可以在增广矩阵上进行，它们分别是：

1. 将某一行乘以一个非零常数$k$；
2. 交换矩阵中的任意两行；
3. 将某一行加上另外一行的$k$倍。

示例

下面是一个增广矩阵的例子：

[ 1 2 − 3 ∣ − 1 4 5 6 ∣ 2 7 8 9 ∣ 5 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 4 & 5 & 6 & | & 2\\ 7 & 8 & 9 & | & 5 \end{bmatrix}$$ ​147​258​−369​∣∣∣​−125​ ​

对它进行以下初等行变换：

1. 将第$2$行加上第$1$行的$-4$倍；
2. 交换第$2$行和第$3$行；
3. 将第$2$行乘以$\frac{1}{3}$。

得到新的增广矩阵为：

[ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 3 18 ∣ 6 0 − 6 12 ∣ 4 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 6 12 ∣ 4 0 − 3 18 ∣ 6 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 2 4 ∣ 4 3 0 − 3 18 ∣ 6 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 1 − 2 ∣ − 2 3 0 − 3 18 ∣ 6 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 1 − 2 ∣ − 2 3 0 0 0 ∣ 0 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -3 & 18 & | & 6\\ 0 & -6 & 12 & | & 4 \end{bmatrix}$$ \to $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -6 & 12 & | & 4\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}$$ \to $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}$$ \to $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}$$ \to $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$$ ​100​2−3−6​−31812​∣∣∣​−164​ ​→ ​100​2−6−3​−31218​∣∣∣​−146​ ​→ ​100​2−2−3​−3418​∣∣∣​−134​6​ ​→ ​100​21−3​−3−218​∣∣∣​−1−32​6​ ​→ ​100​210​−3−20​∣∣∣​−1−32​0​ ​

矩阵的行阶梯形式

定义

一个矩阵是行阶梯形式的，当且仅当它满足以下两个条件：

1. 矩阵的第一行有非零元素；
2. 除第一行外，每一行的第一个非零元素的列数均大于前一行的该非零元素的列数。

示例

对于增广矩阵 [ A ∣ b ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]，如果它的行阶梯形式为：

[ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 1 − 2 ∣ − 2 3 0 0 0 ∣ 0 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$$ ​100​210​−3−20​∣∣∣​−1−32​0​ ​

则我们可以直接得到线性方程组的解：

$$x_1=-5x_2+7,x_3=k$$

其中$k$为任意实数。

矩阵的简化行阶梯形式

定义

一个矩阵是简化行阶梯形式的，当且仅当它是行阶梯形式的，并且满足以下两个条件：

1. 主元素（即每一行第一个非零元素）都为$1$；
2. 除主元素外，每一行的其余元素均为$0$。

示例

对于增广矩阵 [ A ∣ b ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]，如果它的简化行阶梯形式为：

[ 1 0 0 ∣ − 5 3 0 1 0 ∣ 4 3 0 0 1 ∣ 0 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{3}\\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}$$ ​100​010​001​∣∣∣​−35​34​0​ ​

则我们可以直接得到线性方程组的解：

$$x_1=-\frac{5}{3},x_2=\frac{4}{3},x_3=0$$

矩阵的秩

定义

一个矩阵的秩是指其行阶梯形式的非零行数。

示例

对于增广矩阵 [ A ∣ b ]

$$\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}$$ [A​ ​​b​]，如果它的行阶梯形式为：

[ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 2 4 ∣ 4 3 0 0 0 ∣ 0 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$$ ​100​2−20​−340​∣∣∣​−134​0​ ​

则该矩阵的秩为$2$。

总结

本文介绍了增广矩阵的定义和与线性方程组的关系，以及增广矩阵的初等行变换、矩阵的行阶梯形式和简化行阶梯形式、矩阵的秩等概念。在学习线性代数时，这些概念都非常重要，希望读者能够掌握。