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图论（二）：图的四种最短路径算法

作者：weixin_40725706 | 2024-05-30 16:49:39

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最短路径

本文总结了图的几种最短路径算法的实现：深度或广度优先搜索算法，弗洛伊德算法，迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford算法


1），深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）
从起始结点开始访问所有的深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点结点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。

下面是核心代码：

  1. void dfs(int cur, int dst){  
  2.     /***operation***/  
  3.   
  4.     /***operation***/  
  5.     if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去  
  6.     if(cur == n){//临界条件  
  7.         if(minPath > dst) minPath = dst;  
  8.         return;  
  9.     }  
  10.     else{  
  11.         int i;  
  12.         for(i = 1; i <= n; i++){  
  13.             if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){  
  14.                 mark[i] = 1;  
  15.                 dfs(i, dst+edge[cur][i]);  
  16.                 mark[i] = 0;  //需要在深度遍历返回时将访问标志置0            
  17.             }  
  18.         }  
  19.         return;  
  20.     }  
  21. }
例1：下面是城市的地图，注意是单向图，求城市1到城市5的最短距离。(引用的是上次总结的图论（一）中1）的例2) 

  1. /***先输入n个结点，m条边，之后输入有向图的m条边，边的前两元素表示起始结点，第三个值表权值，输出1号城市到n号城市的最短距离***/  
  2. /***算法的思路是访问所有的深度遍历路径，需要在深度遍历返回时将访问标志置0***/  
  3. #include <iostream>  
  4. #include <iomanip>  
  5. #define nmax 110  
  6. #define inf 999999999  
  7. using namespace std;  
  8. int n, m, minPath, edge[nmax][nmax], mark[nmax];//结点数，边数，最小路径，邻接矩阵，结点访问标记  
  9. void dfs(int cur, int dst){  
  10.     /***operation***/  
  11.   
  12.     /***operation***/  
  13.     if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去  
  14.     if(cur == n){//临界条件  
  15.         if(minPath > dst) minPath = dst;  
  16.         return;  
  17.     }  
  18.     else{  
  19.         int i;  
  20.         for(i = 1; i <= n; i++){  
  21.             if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){  
  22.                 mark[i] = 1;  
  23.                 dfs(i, dst+edge[cur][i]);  
  24.                 mark[i] = 0;              
  25.             }  
  26.         }  
  27.         return;  
  28.     }  
  29. }  
  30.   
  31. int main(){  
  32.     while(cin >> n >> m && n != 0){  
  33.         //初始化邻接矩阵  
  34.         int i, j;  
  35.         for(i = 1; i <= n; i++){  
  36.             for(j = 1; j <= n; j++){  
  37.                 edge[i][j] = inf;  
  38.             }  
  39.             edge[i][i] = 0;  
  40.         }  
  41.         int a, b;  
  42.         while(m--){  
  43.             cin >> a >> b;  
  44.             cin >> edge[a][b];  
  45.         }  
  46.         //以dnf(1)为起点开始递归遍历  
  47.         memset(mark, 0, sizeof(mark));  
  48.         minPath = inf;  
  49.         mark[1] = 1;  
  50.         dfs(1, 0);  
  51.         cout << minPath << endl;  
  52.     }  
  53.     return 0;  
  54. }
程序运行结果如下：



2），弗洛伊德算法（解决多源最短路径）：时间复杂度O(n^3),空间复杂度O(n^2)
基本思想：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1号和2号顶点进行中转......允许经过1~n号所有顶点进行中转，来不断动态更新任意两点之间的最短路程。即求从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。

分析如下：1，首先构建邻接矩阵Floyd[n+1][n+1]，假如现在只允许经过1号结点，求任意两点间的最短路程，很显然Floyd[i][j] = min{Floyd[i][j], Floyd[i][1]+Floyd[1][j]}，代码如下：

  1. for(i = 1; i <= n; i++){
  2. 	for(j = 1; j <= n; j++){
  3. 		if(Floyd[i][j] > Floyd[i][1] + Floyd[1][j])
  4. 			Floyd[i][j] = Floyd[i][1] + Floyd[1][j];
  5. 	}
  6. }
2，接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短距离，在已经实现了从i号顶点到j号顶点只经过前1号点的最短路程的前提下，现在再插入第2号结点，来看看能不能更新更短路径，故只需在步骤1求得的Floyd[n+1][n+1]基础上，进行Floyd[i][j] = min{Floyd[i][j], Floyd[i][2]+Floyd[2][j]}；......
3，很显然，需要n次这样的更新，表示依次插入了1号，2号......n号结点，最后求得的Floyd[n+1][n+1]是从i号顶点到j号顶点只经过前n号点的最短路程。故核心代码如下： 

  1. #define inf 99999999
  2. for(k = 1; k <= n; k++){
  3. 	for(i = 1; i <= n; i++){
  4. 		for(j = 1; j <= n; j++){
  5. 			if(Floyd[i][k] < inf && Floyd[k][j] < inf && Floyd[i][j] > Floyd[i][k] + Floyd[k][j])
  6. 				Floyd[i][j] = Floyd[i][k] + Floyd[k][j];
  7. 		}
  8. 	}
  9. }
例1：寻找最短的从商店到赛场的路线。其中商店在1号结点处，赛场在n号结点处，1~n结点中有m条线路双向连接。 

  1. /***先输入n，m，再输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路其中1为商店，n为赛场，三元组分别表起点，终点，该路径长，输出1到n的最短路径***/
  2. #include <iostream>
  3. using namespace std;
  4. #define inf 99999999
  5. #define nmax 110
  6. int edge[nmax][nmax], n, m;
  7. int main(){
  8. 	while(cin >> n >> m && n!= 0){
  9. 		//构建邻接矩阵
  10. 		int i, j;
  11. 		for(i = 1; i <= n; i++){
  12. 			for(j = 1; j <= n; j++){
  13. 				edge[i][j] = inf;
  14. 			}
  15. 			edge[i][i] = 0;
  16. 		}
  17. 		while(m--){
  18. 			cin >> i >> j;
  19. 			cin >> edge[i][j];
  20. 			edge[j][i] = edge[i][j];
  21. 		}
  22. 		//使用弗洛伊德算法
  23. 		int k;
  24. 		for(k = 1; k <= n; k++){
  25. 			for(i = 1; i <= n; i++){
  26. 				for(j = 1; j <= n; j++){
  27. 					if(edge[i][k] < inf && edge[k][j] < inf && edge[i][j] > edge[i][k] + edge[k][j])
  28. 						edge[i][j] = edge[i][k] + edge[k][j];
  29. 				}
  30. 			}
  31. 		}
  32. 		cout << edge[1][n] << endl;
  33. 	}
  34. 	return 0;
  35. }
程序运行结果如下：



3），迪杰斯特拉算法（解决单源最短路径）
基本思想：每次找到离源点（如1号结点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤：1，设置标记数组book[]：将所有的顶点分为两部分,已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q，很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]为1表示在集合P中；
2，设置最短路径数组dst[]并不断更新：初始状态下，令dst[i] = edge[s][i](s为源点，edge为邻接矩阵)，很显然此时dst[s]=0，book[s]=1。此时，在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。并依据以u为新的中心点，对每一条边进行松弛操作(松弛是指由结点s-->j的途中可以经过点u，并令dst[j]=min{dst[j], dst[u]+edge[u][j]})，并令book[u]=1;
3，在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点，对每一条边进行松弛操作(即dst[j]=min{dst[j], dst[v]+edge[v][j]}),并令book[v]=1;
4，重复3，直至集合Q为空。
以下是图示：

核心代码如下所示：

  1. #define inf 99999999
  2. /***构建邻接矩阵edge[][],且1为源点***/
  3. for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = edge[1][s]；
  4. for(i = 1; i <= n; i++) book[i] = 0;
  5. book[1] = 1;
  6. for(i = 1; i <= n-1; i++){
  7. 	//找到离源点最近的顶点u，称它为新中心点
  8. 	min = inf;
  9. 	for(j = 1; j <= n; j++){
  10. 		if(book[j] == 0 && dst[j] < min){
  11. 			min = dst[j];
  12. 			u = j;
  13. 		}
  14. 	}
  15. 	book[u] = 1;
  16. 	//更新最短路径数组
  17. 	for(k = 1; k <= n; k++){
  18. 		if(edge[u][k] < inf && book[k] == 0){
  19. 			if(dst[k] > dst[u] + edge[u][k])
  20. 				dst[k] = dst[u] + edge[u][k];			
  21. 		}
  22. 	}
  23. }
例1：给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s，终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离有多条路线，则输出花费最少的。
输入：输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)
输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。
分析：由于每条边有长度d和花费p，最好构建边结构体存放，此外可以使用邻接链表，使用邻接链表时需要将上面的核心代码修改几个地方：

1，初始化dst[]时使用结点1的邻接链表；
2，更新最短路径数组时，k的范围由1~n变为1~edge[u].size()。先采用邻接矩阵解决此题，再使用邻接表解决此题，两种方法的思路都一样：初始化邻接矩阵或邻接链表，并
初始化最短路径数组dst ----> n-1轮边的松弛中，先找到离新源点最近的中心点u，之后根据中心点u为转折点来更新路径数组。

使用邻接矩阵求解：

  1. /***对于无向图，输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。***/
  2. /***n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)     输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。***/
  3. #include <iostream>
  4. #include <iomanip>
  5. using namespace std;
  6. #define nmax 1001
  7. #define inf 99999999
  8. struct Edge{
  9. 	int len;
  10. 	int cost;
  11. };
  12. Edge edge[nmax][nmax];
  13. int dst[nmax], spend[nmax], book[nmax], n, m, stNode, enNode;
  14. int main(){
  15. 	while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){
  16. 		int a, b, i, j;
  17. 		//构建邻接矩阵和最短路径数组
  18. 		for(i = 1; i <= n; i++){
  19. 			for(j = 1; j <= n; j++){
  20. 				edge[i][j].cost = 0;
  21. 				edge[i][j].len = inf;
  22. 			}
  23. 			edge[i][i].len = 0;
  24. 		}
  25. 		while(m--){
  26. 			cin >> a >> b;
  27. 			cin >> edge[a][b].len >> edge[a][b].cost;
  28. 			edge[b][a].len = edge[a][b].len;
  29. 			edge[b][a].cost = edge[a][b].cost;
  30. 		}
  31. 		cin >> stNode >> enNode;
  32. 		for(i = 1; i <= n; i++){
  33. 			dst[i] = edge[stNode][i].len;
  34. 			spend[i] = edge[stNode][i].cost;
  35. 		}
  36. 		memset(book, 0, sizeof(book));
  37. 		book[stNode] = 1;
  38. 		//开始迪杰斯特拉算法，进行剩余n-1次松弛
  39. 		int k;
  40. 		for(k = 1; k <= n-1; k++){
  41. 			//找离源点最近的顶点u
  42. 			int minNode, min = inf;
  43. 			for(i = 1; i <= n; i++){
  44. 				if(book[i] == 0 && min > dst[i] /* || min == dst[i]&& edge[stNode][min].cost > edge[stNode][i].cost*/){
  45. 					min = dst[i];
  46. 					minNode = i;
  47. 				}
  48. 			}
  49. 			//cout << setw(2) << minNode;
  50. 			book[minNode] = 1;//易错点1，错写成book[i]=1
  51. 			//以中心点u为转折点来更新路径数组和花费数组
  52. 			for(i = 1; i <= n; i++){
  53. 				if(book[i] == 0 && dst[i] > dst[minNode] + edge[minNode][i].len || dst[i] == dst[minNode] + edge[minNode][i].len && spend[i] > spend[minNode] + edge[minNode][i].cost){
  54. 					dst[i] = dst[minNode] + edge[minNode][i].len;//易错点2，错写成dst[i]+
  55. 					spend[i] = spend[minNode] + edge[minNode][i].cost;
  56. 				}
  57. 			}
  58. 		}
  59. 		cout << dst[enNode] << setw(3) << spend[enNode] << endl;
  60. 	}
  61. 	return 0;
  62. }
程序运行结果如下：



使用邻接链表求解：

  1. /***对于无向图，输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。***/
  2. /***n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)     输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。***/
  3. #include <iostream>
  4. #include <iomanip>
  5. #include <vector>
  6. using namespace std;
  7. #define nmax 1001
  8. #define inf 99999999
  9. struct Edge{
  10. 	int len;
  11. 	int cost;
  12. 	int next;
  13. };
  14. vector<Edge> edge[nmax];
  15. int dst[nmax], spend[nmax], book[nmax], n, m, stNode, enNode;
  16. int main(){
  17. 	while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){
  18. 		int a, b, i, j;
  19. 		//构建邻接表和最短路径数组
  20. 		for(i = 1; i <= n; i++) edge[i].clear();
  21. 		while(m--){
  22. 			Edge tmp;
  23. 			cin >> a >> b;
  24. 			tmp.next = b;
  25. 			cin >> tmp.len >> tmp.cost;
  26. 			edge[a].push_back(tmp);
  27. 			tmp.next = a;
  28. 			edge[b].push_back(tmp);
  29. 		}
  30. 		cin >> stNode >> enNode;
  31. 		for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = inf; //注意2，别忘记写此句来初始化dst[]
  32. 		for(i = 0; i < edge[stNode].size(); i++){//注意1，从下标0开始存元素，误写成i <= edge[stNode].size()
  33. 			dst[edge[stNode][i].next] = edge[stNode][i].len;
  34. 			//cout << dst[2] << endl;
  35. 			spend[edge[stNode][i].next] = edge[stNode][i].cost;
  36. 		}
  37. 		memset(book, 0, sizeof(book));
  38. 		book[stNode] = 1;
  39. 		//开始迪杰斯特拉算法，进行剩余n-1次松弛
  40. 		int k;
  41. 		for(k = 1; k <= n-1; k++){
  42. 			//找离源点最近的顶点u
  43. 			int minnode, min = inf;
  44. 			for(i = 1; i <= n; i++){
  45. 				if(book[i] == 0 && min > dst[i] /* || min == dst[i]&& edge[stnode][min].cost > edge[stnode][i].cost*/){
  46. 					min = dst[i];
  47. 					minnode = i;
  48. 				}
  49. 			}
  50. 			//cout << setw(2) << minnode;
  51. 			book[minnode] = 1;//易错点1，错写成book[i]=1
  52. 			//以中心点u为转折点来更新路径数组和花费数组
  53. 			for(i = 0; i < edge[minnode].size(); i++){
  54. 				int t = edge[minnode][i].next;//别忘了加此句，表示与结点minnode相邻的点
  55. 				if(book[t] == 0 && dst[t] > dst[minnode] + edge[minnode][i].len || dst[t] == dst[minnode] + edge[minnode][i].len && spend[t] > spend[minnode] + edge[minnode][i].cost){
  56. 					dst[t] = dst[minnode] + edge[minnode][i].len;
  57. 					spend[t] = spend[minnode] + edge[minnode][i].cost;
  58. 				}
  59. 			}
  60. 		}
  61. 		cout << dst[enNode] << setw(3) << spend[enNode] << endl;
  62. 	}
  63. 	return 0;
  64. }
程序运行结果如下：


使用邻接表时，注意更新dst[]，book[]时要使用邻接表元素对应下标中的next成员，而涉及到权值加减时时需要使用邻接表中的对应下标来取得权值；而使用邻接矩阵就没这么多顾虑了，因为这时候邻接矩阵对应下标和dst[]要更新元素的下标正好一致，都是从1开始编号。



4），Bellman-Ford算法(解决负权边，解决单源最短路径，前几种方法不能求含负权边的图)：：时间复杂度O(nm),空间复杂度O(m)
主要思想：对所有的边进行n-1轮松弛操作，因为在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1边。换句话说，第1轮在对所有的边进行松弛后，得到的是从1号顶点只能经过一条边到达其余各定点的最短路径长度。第2轮在对所有的边进行松弛后，得到的是从1号顶点只能经过两条边到达其余各定点的最短路径长度，......
以下是图示：


此外，Bellman_Ford还可以检测一个图是否含有负权回路：如果在进行n-1轮松弛后仍然存在dst[e[i]] > dst[s[i]]+w[i]。算法核心代码如下：

  1. #define inf 999999999
  2. for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = inf;
  3. dst[1] = 0;
  4. for(k = 1; k <= n-1; k++){
  5. 	for(i = 1; i <= m; i++){
  6. 		if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])
  7. 			dst[e[i]] = dst[s[i]] + w[i];
  8. 	}
  9. }
  10. //检测负权回路
  11. flag = 0;
  12. for(i = 1; i <= m; i++){
  13. 	if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])
  14. 		flag = 1;
  15. }
  16. if(flag) cout << "此图含有负权回路";
例1：对图示中含负权的有向图，输出从结点1到各结点的最短路径，并判断有无负权回路。 

  1. /***先输入n，m，分别表结点数和边数，之后输入m个三元组，各表起点，终点，边权，输出1号结点到各结点的最短路径****/
  2. #include <iostream>
  3. #include <iomanip>
  4. using namespace std;
  5. #define nmax 1001
  6. #define inf 99999999
  7. int n, m, s[nmax], e[nmax], w[nmax], dst[nmax];
  8. int main(){
  9. 	while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){
  10. 		int i, j;
  11. 		//初始化三个数组：起点数组s[],终点数组e[],权值数组w[],最短路径数组dst[]
  12. 		for(i = 1; i <= m; i++)
  13. 			cin >> s[i] >> e[i] >> w[i];
  14. 		for(i = 1; i <= n; i++)
  15. 			dst[i] = inf;
  16. 		dst[1] = 0;
  17. 		//使用Bellman_Ford算法
  18. 		for(j = 1; j <= n-1; j++){
  19. 			for(i = 1; i <= m; i++){
  20. 				if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])
  21. 					dst[e[i]] = dst[s[i]] + w[i];
  22. 			}
  23. 		}
  24. 		//测试是否有负权回路并输出
  25. 		int flag = 0;
  26. 		for(i = 1; i <= m; i++)
  27. 			if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])
  28. 				flag = 1;
  29. 		if(flag) cout << "此图含有负权回路\n";
  30. 		else{
  31. 			for(i = 1; i <= n; i++){
  32. 				if(i == 1)
  33. 					cout << dst[i];
  34. 				else 
  35. 					cout << setw(3) << dst[i];
  36. 			}
  37. 			cout << endl;
  38. 		}
  39. 	}
  40. 	return 0;
  41. }
程序运行结果如下：






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