分治算法之最大子段和_最大子段和问题: 给定n个整数(可能为负数)组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求

最大子段和： 对于n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n 。本文中取n=20,a[i]属于[-20,20].

#include<iostream>
#include <cstdlib>
#include<ctime> 
#include<cstdlib>
using namespace std; 
int maxsum(int a[],int left,int right)
{
	int sum=0;
	if(left==right)
	  	sum = a[left] > 0 ? a[left] : 0; 
	else
	{
		int center=(left+right)/2;
		int s1=0;
		int lefts=0;
		for(int i=center;i>=left;i--)
		{
		    lefts+=a[i];
			if(lefts>s1) s1=lefts;
	    }
	    int s2=0;
	    int rights=0;
	    for(int j=center+1;j<=right;j++)
	    {
	    	rights+=a[j];
	    	if(rights>s2) s2=rights;
		}
		int leftsum=maxsum(a,left,center);
		int rightsum=maxsum(a,center+1,right);
		sum=s1+s2;
		if(sum<leftsum) sum=leftsum;
		if(sum<rightsum) sum=rightsum;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int maxsum(int a[],int left,int right);
	int i;
	const int n=20;
	int a[n]={0};
	
	cout<<"生成随机序列："<<endl; 
	srand(time(0));
	for(i=0;i<n;i++)
	{
	  a[i]=rand() % (20+20+1)-20;
	  cout<<a[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;
	cout<<"最大子段和为"<<maxsum(a,0,n-1);	
	return 0;
}

补充

复杂性分析:

将a[0:n]分成a[0:n/2]和a[n/2+1:n],则a[n]的最大字段和有三种情况:

(1).a[0:n]的最大子段和与a[0:n/2]的最大子段和相同.

(2)a[0:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同.

(1)(2)时间复杂度为O(logn).

(3)a[0:n]的最大子段和为i到j的累加，其中0<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n.

时间复杂度T(n)=2T(n/2)+O(n) ，所以T(n)=O(nlogn).

综上，最大子段和的时间复杂度为O(nlogn)。