高等代数(八)-线性变换04：矩阵相似的条件

$\S 4$ 矩阵相似的条件
在求数字矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量时曾出现过
$\lambda$-矩阵 $\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$, 我们称它为
$\mathbf{A}$的特征矩阵. 这一节的主要结果是证明两个 $n\times n$
数字矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$
相似的充分必要条件是它们的特征矩阵
$\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 和
$\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}$ 等价.
引理 1 如果有 $n\times n$ 数字矩阵
${\mathbf{P}}_0,{\mathbf{Q}}_0$, 使
$$\lambda E-A=P_0(\lambda E-B)Q_0,$$
则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似.
证明 因
${\mathbf{P}}_0(\lambda E-B)Q_0=\lambda P_0{Q}_0-P_{0}B{Q}_0$,
它又与 $\lambda E-A$ 相等, 进行比较后应有
${\mathbf{P}}_0{\mathbf{Q}}_0=\mathbf{E},{\mathbf{P}}_0\mathbf{B}{\mathbf{Q}}_0=\mathbf{A}$.
由此 ${\mathbf{Q}}_0={\mathbf{P}}_0^{-1}$, 而
$\mathbf{A}={\mathbf{P}}_0\mathbf{B}{\mathbf{P}}_0^{-1}$.
故 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似. I
引理 2 对于任何不为零的 $n\times n$ 数字矩阵 $\mathbf{A}$ 和
$\lambda$-矩阵 $\mathbf{U}(\lambda )$ 与 $\mathbf{V}(\lambda )$,
二定存在 $\lambda$-矩阵 $\mathbf{Q}(\lambda )$ 与
$\mathbf{R}(\lambda )$ 以及数字矩阵 ${\mathbf{U}}_0$ 和
${\mathbf{V}}_0$, 使
U ( λ ) = ( λ E − A ) Q ( λ ) + U 0 , V ( λ ) = R ( λ ) ( λ E − A ) + V 0 . \begin{array}{l} \boldsymbol{U}(\lambda)=(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{Q}(\lambda)