2.1.5两个排序数组的中位数_给定2个已排序的整型数组,求中值

2.1.5两个排序数组的中位数

分别有两个大小为m和n的排序数组a和B。
查找两个已排序数组的中值。总体运行时复杂度应为O（log（m + n））

分析

这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是，给定两个已经排序好的数组，找到两者所有元素中第k大的元素。
O（m+n）的解法比较直观，直接merge两个数组，然后求第k大的元素。
不过我们仅仅需要第k大的元素，是不需要“排序”这么昂贵的操作的。可以用一个计数器，记录当前已经找到第m大的元素了。同时我们使用两个指针pA和pB，分别指向A和B数组的第一个元素，使用类似于merge sort的原理，如果数组A当前元素小，那么pA++，同时m++；如果数组B当前元素小，那么pB++，同时m++。最终当m等于k的时候，就得到了我们的答案，O（k）时间，O（1）空间。但是，当k很接近m+n的时候，这个方法还是O（m+n）的。
有没有更好的方案呢？我们可以考虑从k入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第k大元素之前的元素，那么我们需要进行k次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于A和B都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。
假设A和B的元素个数都大于k/2，我们将A的第k/2个元素（即A[k/2-1]）和B的第k/2个元素（即B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设k为偶数，所得到的结论对于k是奇数也是成方的）：
·A[k/2-1]==B[k/2-1]
·A[k/2-1]>B[k/2-1]
·A[k/2-1]<B[k/2-1]
如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，意味着A[0]到A[k/2-1]的肯定在AUB的topk元素的范围内，换句话说，A[k/2-1]不可能大于AUB的第k大元素。留给读者证明。
因此，我们可以放心的删除A数组的这k/2个元素。同理，当A[k/2-1]>B[k/2-1]时，可以删除B数组的k/2个元素。
当A[k/2-1]==B[k/2-1]时，说明找到了第k大的元素，直接返回A[k/2-1]或B[k/2-1]即可。
因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？
·当A或B是空时，直接返回B[k-1]或A[k-1]；
·当k=1是，返回min（A[O]，B[0]）；
·当A[k/2-1]==B[k/2-1]时，返回A[k/2-1]或B[k/2-1]

代码如下：

class Solution {
public:
	double findMedianSortedArrays(const vector<int>& A, const vector<int>& B)
	{
		const int m = A.size();
		const int n = B.size();
		int total = m + n;
		if (total & 0x1)
			return find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1);
		else return(find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2) + find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1)) / 2.0;
	}
private:
	static int find_kth(std::vector<int>::const_iterator A, int m, std::vector<int>::const_iterator B, int n, int k)
	{
		//always assume that m is equal or smaller than n 
		if (m > n)
			return find_kth(B, n, A, m, k);
		if (m == 0)
			return *(B + k - 1);
		if (k == 1)
			return min(*A, *B);
		if (m > n)
			return find_kth(B, n, A, m, k);
		if (m == 0)
			return*(B + k - 1);
		if (k == 1)
			return min(*A, *B);
		//divide k into two parts 
		int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
		if (*(A + ia - 1) < *(B + ib - 1))
			return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);
		else if (*(A + ia - 1) > *(B + ib - 1))
			return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);
		else
			return A[ia - 1];
	}
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37