能量、功率、能量谱密度、功率谱密度、自相关函数_Matlab_matlab能量谱

能量信号的Parseval定理

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|X(f){|}^{2}df$$
若$x(t)$为实函数，则上式可写为
$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t{)}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|X(f){|}^{2}df$$
该定理表明一个实信号的平方的积分，或一个复信号振幅平方的积分（或$x(t)x^{\ast }(t)$）,等于信号的能量。
信号频率密度的模的平方$|X(f){|}^2$对$f$的积分也等于信号能量，故称$|X(f){|}^2$为信号的能量谱密度。

周期性功率信号的Parseval定理

设$x(t)$周期性实功率信号，周期等于$T_0$，基频为$f_0=1/T_0$，则其傅里叶级数展开式为
$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j2\pi n{f}_{0}t}$$
其平均功率可以写为
$$\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t{)}^{2}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C_n{|}^2$$
上式表示周期性功率信号的平均功率等于其频谱的模的平方和。

能量信号的自相关函数

自相关函数$R(\tau )$反映了一个信号与延迟$\tau$后的同一信号的相关程度。
能量信号$s(t)$的自相关函数的定义为
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)s(t+\tau )dt，-\infty <\tau <\infty$$
当$\tau =0$时，能量信号的自相关函数$R(0)$等于信号的能量，即
$$R(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t{)}^{2}dt=E$$
能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度。
$$|S(f){|}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$
即，$R(\tau )$和$|S(f){|}^2$构成一对傅里叶变换，其中$S(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j2\pi ft}dt$

功率信号的自相关函数

功率信号$s(t)$的自相关函数的定义为
$$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau )dt，-\infty <\tau <\infty$$
当$\tau =0$时，功率信号的自相关函数$R(0)$等于信号的平均功率，即
$$R(0)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t{)}^{2}dt=P$$
功率信号的自相关函数的傅里叶变换就是其功率谱密度。
$$P(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$
即，$R(\tau )$和$P(f)$构成一对傅里叶变换，
其中$$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$

举例

求余弦信号$s(t)=Acos({\omega }_{0}t+\theta )$的自相关函数、功率谱密度、平均功率。
$$R(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)s(t+\tau )\mathrm{d}t=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}{A}^2\cos \left({\omega }_{0}t+\theta \right)\cos \left[{\omega }_0(t+\tau )+\theta \right]\mathrm{d}t$$
$$R(\tau )=\frac{A^2}{2}\cos {\omega }_0\tau \cdot \frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}\mathrm{d}t+\frac{A^2}{2}\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos \left(2{\omega }_{0}t+{\omega }_0\tau +2\theta \right)\mathrm{d}t=\frac{A^2}{2}cos\omega \tau$$
对上式作傅里叶变换，得功率谱密度
$$P(\omega )=\frac{A^2}{2}\pi \left[\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)+\delta \left(\omega +{\omega }_0\right)\right]$$
由$\delta (\omega )=\delta (2\pi f)=\frac{1}{2\pi }\delta (f)$，得
$$P(f)=\frac{A^2}{4}\left[\delta \left(f-f_0\right)+\delta \left(f+f_0\right)\right]$$
功率谱密度对频率的积分，得平均功率
$$P={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df=R(0)=\frac{A^2}{2}$$

序列的能量和功率

Parseval定理的拓展
$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t{)}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|X(f){|}^{2}df$$
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{)}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega$$
$$\sum _{n=0}^{N-1}x(n{)}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k){|}^2$$
其中，$X(e^{j\omega })=DTFT[x(n)]$，$X(k)=DFT[x(n)]$，后者是前者在频率区间$[0,2\pi ]$上的$N$点等间隔采样。
离散序列的能量等于序列各点的平方求和。

考虑一个有限长实信号x(t)，其采样序列为$x(n)$，采样周期为$T_s$，序列长度为$N$，则$N\ast T_s=t_2-t_1$
$$P=\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}x(t{)}^{2}dt=\frac{{\sum }_{n=0}^{N-1}{T}_s\ast x(n{)}^2}{t_2-t_1}=\frac{{\sum }_{n=0}^{N-1}x(n{)}^2}{N}$$
联系前面序列的能量，可得
$$P=\frac{{\sum }_{n=0}^{N-1}x(n{)}^2}{N}=\frac{1}{N^2}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k){|}^2$$
则离散序列的功率等于序列各点的平方求和除以序列长度。

Matlab验证

N = 1000;
Fs = 1000;
t = 0:1/Fs:(N-1)/Fs;
A = 1;
f = 50;
x = A*sin(2*pi*f*t);
X = fft(x);
E_t = sum(x.^2); %时域求能量
E_f = sum(abs(X).^2)/N; %频域求能量
P_t = sum(x.^2)/N; %时域求功率
x_r = xcorr(x); %自相关函数
Power_f = abs(fft(x_r))/N; %功率谱
figure; plot(Power_f);%双边功率谱
P_f = sum(Power_f(1:N))/N;%频域求功率
fprintf('E_t=%f, E_f=%f，P_t=%f, P_f=%f\n', E_t, E_f, P_t, P_f);
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输出结果：

E_t=500.000000, E_f=500.000000，P_t=0.500000, P_f=0.499750
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使用 periodogram函数

% 功率谱估计
psd = periodogram(x,'psd');
power = periodogram(x,'power');
subplot(2,1,1); plot(psd); title('PSD');
subplot(2,1,2); plot(power); title('PS');
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5

输出结果：

参考文献：樊昌信, 曹丽娜. 通信原理(第7版)[M]. 北京: 国防工业出版社, 2017.