变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换

1. 位移（translation）

对于一个三维坐标（x, y, z），我们想让它往x轴正方向移动1个单位，往y轴正方向移动1个单位，往z轴正方向移动1个单位，则可以让它加上一个向量（1, 1, 1）

2. 旋转（Rotation）

对于一个三维坐标（x, y, z），让其绕x, y, z轴旋转θ角的方法是在其左边乘上一个旋转矩阵。绕x轴，绕y轴，绕z轴的旋转矩阵分别是：

PS：如果我们想更加通用一点，即点（x, y, z）绕轴（u, v, w）旋转θ的矩阵是什么？
如果u, v, w三者的平方和为1，即该向量是个单位向量，那么矩阵如下：

3. 缩放（scale）

对于一个三维坐标（x, y, z），我们想让它扩大2倍，则可以让它变成（2x, 2y, 2z）。写成矩阵乘法的话，V2 = M*V1，M如下图：

4. 统一变换

有没有什么方法让位移，旋转，缩放都成为统一的一种形式？
答：将三维坐标转换为四维坐标，然后使用线性变换。

线性变换（Linear Transformation / Xforms）是渲染和游戏引擎等图形学工具进行坐标变换的方式，是可逆的。
线性变换的等式如下：
V2 = M*V1

• V是齐次（homogeneous）四维向量（x,y,z,w），竖着写的
• M是齐次4×4矩阵
• 当w=1时，四维坐标会变成三维坐标

对于三维坐标（x, y, z），将其转换为四维坐标，可以直接加个1，即变成（x, y, z, 1）
对于四维坐标（x, y, z, w），都除以w即可转换为三维坐标，即（x/w, y/w, z/w）

1. 四维位移

这个图要从右向左看

从上图中可以看到，四维位移矩阵，是在一个四维单位矩阵（就是对角线都是1，其他都是0的矩阵）的最后一列，放入你想要位移的向量（tx, ty, tz）

2. 四维旋转

绕x轴转θ

从上图中可以看到，四维旋转矩阵，是在我们上面刚说的三维绕轴旋转矩阵的基础上，在最后一行和最后一列补上一个（0，0，0，1）。

3. 四维缩放

从右向左看

和旋转一个道理。

5. 四维变换的性质

1. 可关联（associative）
   你可以让一个坐标乘上一个旋转矩阵，再乘上一个位移矩阵，再乘上一个缩放矩阵，再乘上一个旋转矩阵………………

2. 旋转和缩放矩阵可交换（communicative）
   先旋转后缩放和先缩放后旋转的结果是一样的。RS = SR
   位移不满足交换律
   先位移再旋转和先旋转再位移结果是不一样的！因为旋转之后模型的正面朝向就变了，所以会向新的方向位移。
   TS!=ST, TR!=RT

3. 对于任何一个线性变换矩阵，我们可以把它拆解（decompose）为TRS或TSR三个矩阵的乘积的形式。

   

    
    

   1）首先提取最后一列，得到位移
   2）剩余的矩阵是R和S相乘的矩阵
   我们可以先看一下S和R相乘的结果是什么样的

   

    

   SR相乘, 以Z轴旋转为例

   
   从图中可以看出，SR矩阵，第一行的平方和开根就是Sx，第二行的平方和开根就是Sy，第三行的平方和开根就是Sz。第一行除以Sx，第二行除以Sy，第三行除以Sz，即可得到旋转矩阵。

6. 四维变换的逆变换

由于线性变换是可逆的，所以我们可以看一下位移旋转缩放的逆矩阵。
1. 位移
T的逆矩阵是-T，即向反方向移动。
2. 旋转
R的逆矩阵是R的转置矩阵，即以对角线翻转矩阵。
怎么理解呢？比如R是绕X轴旋转θ，那么逆操作就是绕X轴旋转-θ，带入-θ就会发现它变成了转置矩阵。
3. 缩放
S的逆矩阵是1/S，即把对角线上的三个元素都变成倒数，即反向缩放。
4. 线性变换Xforms
TSR的逆矩阵 = R的逆×S的逆×T的逆

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