【数据挖掘】决策树中根据 信息增益 确定划分属性 ( 信息与熵 | 总熵计算公式 | 每个属性的熵计算公式 | 信息增益计算公式 | 划分属性确定 )_根据信息增益率选择第一个属性

I . 决策树 树根属性 选择

---

1 . 属性选择方法 : 树根属性选择的方法很多 , 这里介绍一种常用的方法 , 信息增益 ;

2 . 信息增益 : 信息增益 效果越大 , 其作为树根属性 , 划分的数据集分类效果越明显 ;

3 . 信息 和 熵 : 涉及 信息论 的知识点 , 建议有空就去 B站 刷一下信息论课程 ;

① 信息 与 熵 的关系 : 信息 会 消除 熵 , 熵 代表了不确定性 , 信息用来消除不确定性 ;

② 信息增益 : 信息增益大的属性 , 能最大消除熵的不确定性 ;

4 . 决策树中的信息增益 : 属性的 信息增益 越大 , 就越能将分类效果达到最大 ;

如 : 想要从用户数据集中找到是否能买奢侈品的用户 , 先把高收入群体划分出来 , 将低收入者从数据集中去除 , 这个收入水平的属性 ( 特征 ) , 信息增益就很大 ;

II . 信息增益 示例说明

---

1 . 熵 和 信息 的数据组成 :

① 数据集 ( 熵 ) : 给定一个总的数据集如 100 个用户数据 , 要从里面选择购买奢侈品的 1 个用户 ( 高收入 , 30 岁以下 ) ;

② 年龄属性 ( 信息 ) : 30 岁以上的 50 个 , 30 岁以下的 50 个 ;

③ 收入属性 ( 信息 ) : 高收入 10 个 , 低收入 90 个 ;

2 . 信息增益分析 :

① 收入属性的信息增益 : 熵是 100 个用户数据 , 代表不确定性 ; 根据收入属性来划分 , 将高收入者 10 个用户划分出来 , 买奢侈品的用户从这 10 个中选择 ; 由 100 个用户中选 1 个用户 , 变为 10 个用户中选择 1 个用户 ; 消除了 90 个用户的不确定性 ;

② 年龄属性的信息增益 : 熵是 100 个用户数据 , 代表不确定性 ; 根据收入属性来划分 , 将30 岁以下的 50 个用户划分出来 , 买奢侈品的用户从这 50 个中选择 ; 由 100 个用户中选 1 个用户 , 变为 50 个用户中选择 1 个用户 ; 消除了 50 个用户的不确定性 ;

③ 信息增益分析 : 明显 收入属性 的信息增益要高于 年龄属性 的信息增益 ;

III . 信息增益 计算步骤

---

信息增益计算步骤 :

1 . 总熵 : 不考虑 输入变量 ( 属性 / 特征 ) , 为数据集 S 中的某个数据样本进行分类 , 计算出该过程的熵 ( 不确定性 ) , 用 Entropy(S) 表示 ;

2 . 引入属性后的熵 : 使用 输入变量 ( 属性 / 特征 ) X 后 , 为数据集 S 中的某个数据样本进行分类 , 计算出该过程的熵 ( 不确定性 ) , 用 Entropy(X , S) 表示 ;

3 . 信息增益 : 上面 Entropy(X , S) - Entropy(S) 的差 , 就是 X 属性 ( 特征 ) 带来的信息增益 , 用 Gain(X , S) 表示 ;

IV . 信息增益 计算使用的数据集 S

---

数据集 : 根据 年龄 , 收入水平 , 是否是学生 , 信用等级 , 预测该用户是否会购买商品 ;

① 是否会购买商品 : 9 个 会购买 , 5 个不会购买 ;

② 年龄 ( 属性 ) :

5 个小于 30 岁的人中 , 3 个不会买电脑 , 有 2 个会买商品 ;

4 个 31 ~ 39 岁的人中 , 0 个不会买电脑 , 有 4 个会买商品 ;

5 个 大于 40 岁的人中 , 2 个不会买电脑 , 有 3 个会买商品 ;

V . 信息增益 计算公式 已知条件

---

1 . 已知条件 ( 变量声明 ) : 声明一些计算公式中使用的变量 ;

① 总的数据集 : $S$

② 最终分类个数 : $m$ , 最终分成 $m$ 个类别 , 如 是否购买商品 ( 是 , 否 ) , 就是分成 $2$ 类 , $m=2$ ;

③ 分类表示 : $C_i(i=1,\cdots ,m)$ , 如 : 是否购买商品 ( 是 , 否 ) , $C_1$ 表示 是 , $C_2$ 表示 否 ;

④ 分类样本个数 : $s_i(i=1,\cdots ,m)$ , 如 : 是否购买商品 , 会购买的 ( $C_1$ ) 的样本个数是 9 人 , 表示为 $s_1=9$ ;

VI . 信息增益 总熵 计算公式

---

1 . 计算总熵公式 :

$$Entropy(S)=-\sum _{i=1}^m\frac{s_i}{s}lo{g}_2\frac{s_i}{s}$$

2 . 公式解析 :

① 加和式 : 这是一个 $1$ 到 $m$ 的加和式 ;

② 比值权重 : $\frac{s_i}{s}$ 表示第 $i$ 个样本数 ( $s_i$ ) 与 总样本数 ($s$) 比值 ;

3 . 计算示例 :

① 需求 : 判定 14 个用户是否会购买某商品 , 9 个会购买 , 5 个不购买 ;

② 计算过程 :

E n t r o p y ( S ) = − ∑ i = 1 m s i s l o g 2 s i s = − 9 14 l o g 2 9 14 − 5 14 l o g 2 5 14

$$\begin{array}{lcl} Entropy(S) &=&- \sum_{i=1}^{m} \frac{s_i}{s} log_2 \frac{s_i}{s} \\ \\ &=& - \frac{9}{14} log_2 \frac{9}{14} - \frac{5}{14} log_2 \frac{5}{14} \end{array}$$ Entropy(S)​==​−∑i=1m​ssi​​log2​ssi​​−149​log2​149​−145​log2​145​​

VII . 信息增益 每个属性的熵 计算公式

---

1 . 计算熵的属性 : 属性 $A$ 的值为 { a 1 , a 2 , ⋯   , a v } \{ a_1 , a_2 , \cdots, a_v \} {a1​,a2​,⋯,av​} ;

2 . 引入 属性 ( 特征 ) A 后 的熵计算公式 :

$$Entropy(A,S)=\sum _{j=1}^v\frac{s_j}{s}Entropy(Sj)$$

3 . 公式解析 :

① 剩余的熵 : 引入属性 $A$ 后 , 属性 $A$ 是信息 , 信息会消除熵 , 这里计算消除后剩余的熵是多少 ;

② 属性解析 : 这是一个 $1$ 到 $v$ 的加和式 , $v$ 表示 $A$ 属性的取值个数 , 如 : $A$ 表示年龄 , 有 : 30岁以下( $a_1$ ) 有 5 个样本 , 31 ~ 39 岁 ( $a_2$ ) 有 4 个样本 , 40 岁以上( $a_3$ ) 有 5 个样本 , $v=3$ ;

③ 系数说明 : 其中 $\frac{s_j}{s}$ 系数 表示 , 属性 A ( 年龄特征 ) 的第 $j$ 个版本的比例 , 这个比例越高 , 样本对多 , 越重要 ;

4 . 属性的熵 计算示例 :

E n t r o p y ( A , S ) = ∑ j = 1 v E n t r o p y ( S j ) = 5 14 E n t r o p y ( 2 , 3 ) + 4 14 E n t r o p y ( 4 , 0 ) + 5 14 E n t r o p y ( 3 , 2 )

$$\begin{array}{lcl} Entropy(A ,S) &=& \sum_{j=1}^{v} Entropy(Sj) \\ \\ &=& \frac{5}{14}Entropy(2 , 3) + \frac{4}{14}Entropy(4 , 0) + \frac{5}{14}Entropy(3 , 2) \\ \\ \end{array}$$ Entropy(A,S)​==​∑j=1v​Entropy(Sj)145​Entropy(2,3)+144​Entropy(4,0)+145​Entropy(3,2)​

5 . 计算过程解析 :

① $\frac{5}{14}Entropy(2,3)$ 在 5 个 小于 30 岁的人中 , 有 2 个会买商品 , 3 个不会买商品 ;

② $\frac{4}{14}Entropy(4,0)$ 在 4 个 31 ~ 39 岁的人中 , 有 4 个会买商品 , 0 个不会买商品 ;

③ $\frac{5}{14}Entropy(3,2)$ 在 5 个 大于 40 岁的人中 , 有 3 个会买商品 , 2 个不会买商品 ;

VIII . 信息增益 计算公式

---

计算 $A$ 属性的信息增益 :

$$Gain(A,S)=Entropy(S)-Entropy(A,S)$$

IX . 信息增益计算 案例

---

1 . 已知数据 :

① 数据集 : 计算 上述数据集 $S$ 的信息增益 , 该数据集 $S$ 有 14 个样本数据 ;

② 数据集属性 : 数据集 $S$ 有 $5$ 个属性 , 年龄 , 收入 , 是否是学生 , 信用等级 , 是否购买商品 ;

③ 预测属性 : 根据 年龄 , 收入 , 是否是学生 , 信用等级 $4$ 个属性 , 预测 是否购买商品 这个属性 ;

2 . 总熵计算 :

① 总熵 : 计算每个属性的信息增益 , 先要使用 $Entropy(S)$ 公式计算出总熵 ;

① 预测属性分析 : 最后预测的属性是 是否购买电脑 , 有两个取值 , 是 或 否 , $2$ 个取值 , 计算总熵时 , 需要计算两项 , 分别计算 取值 会买电脑 和 不会买电脑的 熵 ;

③ 属性的具体分类 : 判定 14 个用户是否会购买某商品 , 9 个会购买 , 5 个不购买 ;

④ 计算过程 :

E n t r o p y ( S ) = − ∑ i = 1 2 s 1 s l o g 2 s 2 s = − 9 14 l o g 2 9 14 − 5 14 l o g 2 5 14 = 0.940

$$\begin{array}{lcl} Entropy(S) &=&- \sum_{i=1}^{2} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \frac{9}{14} log_2 \frac{9}{14} - \frac{5}{14} log_2 \frac{5}{14} \\\\ &=& 0.940 \end{array}$$ Entropy(S)​===​−∑i=12​ss1​​log2​ss2​​−149​log2​149​−145​log2​145​0.940​

3 . 计算 年龄 属性的熵 :

① 引入属性 : 引入 年龄 属性 后 , 年龄 属性 是信息 , 信息会消除熵 , 这里计算引入 年龄 属性 之后的熵是多少 ;

② 年龄属性分析 : 年龄属性有 3 种取值 : 30岁以下有 5 个样本 , 31 ~ 39 岁有 4 个样本 , 40 岁以上有 5 个样本 ;

③ 计算内容 :

需要分别计算 3 种取值的熵各是多少 ,

30岁以下有 5 个样本 , 需要计算这 5 个样本的熵是多少 , 5 个样本 , 有 3 个人买商品 , 2 个人不买商品 ,

④ 计算示例 :

E n t r o p y ( A , S ) = ∑ j = 1 3 E n t r o p y ( S j ) = 5 14 E n t r o p y ( 2 , 3 ) + 4 14 E n t r o p y ( 4 , 0 ) + 5 14 E n t r o p y ( 3 , 2 ) = 0.694

$$\begin{array}{lcl} Entropy(A ,S) &=& \sum_{j=1}^{3} Entropy(Sj) \\ \\ &=& \frac{5}{14}Entropy(2 , 3) + \frac{4}{14}Entropy(4 , 0) + \frac{5}{14}Entropy(3 , 2) \\ \\ &=& 0.694 \end{array}$$ Entropy(A,S)​===​∑j=13​Entropy(Sj)145​Entropy(2,3)+144​Entropy(4,0)+145​Entropy(3,2)0.694​

$\frac{5}{14}Entropy(2,3)$ 在 5 个 小于 30 岁的人中 , 有 2 个会买商品 , 3 个不会买商品 ;

$\frac{4}{14}Entropy(4,0)$ 在 4 个 31 ~ 39 岁的人中 , 有 4 个会买商品 , 0 个不会买商品 ;

$\frac{5}{14}Entropy(3,2)$ 在 5 个 大于 40 岁的人中 , 有 3 个会买商品 , 2 个不会买商品 ;

4 . 计算每个 属性 不同样本取值的熵 :

① 计算 $Entropy(2,3)$ : 5 个人 , 有 2 个人买商品 , 3 个人没有买商品 ;

E n t r o p y ( 2 , 3 ) = − ∑ i = 1 m s 1 s l o g 2 s 2 s = − ∑ i = 1 2 s 1 s l o g 2 s 2 s = − 2 5 l o g 2 2 5 − 3 5 l o g 2 3 5

$$\begin{array}{lcl} Entropy(2 , 3) &=& - \sum_{i=1}^{m} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \sum_{i=1}^{2} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \frac{2}{5} log_2 \frac{2}{5} - \frac{3}{5} log_2 \frac{3}{5} \end{array}$$ Entropy(2,3)​===​−∑i=1m​ss1​​log2​ss2​​−∑i=12​ss1​​log2​ss2​​−52​log2​52​−53​log2​53​​

② 计算 $Entropy(4,0)$ : 4 个人 , 有 4 个人买商品 , 0 个人没有买商品 ;

E n t r o p y ( 4 , 0 ) = − ∑ i = 1 m s 1 s l o g 2 s 2 s = − ∑ i = 1 2 s 1 s l o g 2 s 2 s = − 4 4 l o g 2 4 4 − 0 4 l o g 2 0 4

$$\begin{array}{lcl} Entropy(4 , 0) &=& - \sum_{i=1}^{m} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \sum_{i=1}^{2} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \frac{4}{4} log_2 \frac{4}{4} - \frac{0}{4} log_2 \frac{0}{4} \end{array}$$ Entropy(4,0)​===​−∑i=1m​ss1​​log2​ss2​​−∑i=12​ss1​​log2​ss2​​−44​log2​44​−40​log2​40​​

③ 计算 $Entropy(3,2)$ : 5 个人 , 有 3 个人买商品 , 2 个人没有买商品 ;

E n t r o p y ( 3 , 2 ) = − ∑ i = 1 m s 1 s l o g 2 s 2 s = − ∑ i = 1 2 s 1 s l o g 2 s 2 s = − 3 5 l o g 2 3 5 − 2 5 l o g 2 2 5

$$\begin{array}{lcl} Entropy(3 , 2) &=& - \sum_{i=1}^{m} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \sum_{i=1}^{2} \frac{s_1}{s} log_2 \frac{s_2}{s} \\\\ &=& - \frac{3}{5} log_2 \frac{3}{5} - \frac{2}{5} log_2 \frac{2}{5} \end{array}$$ Entropy(3,2)​===​−∑i=1m​ss1​​log2​ss2​​−∑i=12​ss1​​log2​ss2​​−53​log2​53​−52​log2​52​​

5 . 计算年龄属性的信息增益 :

G a i n ( A , S ) = E n t r o p y ( S ) − E n t r o p y ( A , S ) = 5 14 E n t r o p y ( 2 , 3 ) + 4 14 E n t r o p y ( 4 , 0 ) + 5 14 E n t r o p y ( 3 , 2 ) − ( − 3 5 l o g 2 3 5 − 2 5 l o g 2 2 5 ) = 0.246

$$\begin{array}{lcl} Gain ( A , S ) &=& Entropy(S) - Entropy(A ,S) \\\\ &=& \frac{5}{14}Entropy(2 , 3) + \frac{4}{14}Entropy(4 , 0) + \frac{5}{14}Entropy(3 , 2) - ( - \frac{3}{5} log_2 \frac{3}{5} - \frac{2}{5} log_2 \frac{2}{5} ) \\\\ &=& 0.246 \end{array}$$ Gain(A,S)​===​Entropy(S)−Entropy(A,S)145​Entropy(2,3)+144​Entropy(4,0)+145​Entropy(3,2)−(−53​log2​53​−52​log2​52​)0.246​

6 . 依次计算 各个属性的 熵 :

① 年龄 属性的信息增益 : $Gain(年龄)=0.246$

② 收入 属性的信息增益 : $Gain(收入)=0.029$

③ 是否是学生 属性的信息增益 : $Gain(是否是学生)=0.151$

④ 信用等级 属性的信息增益 : $Gain(信用等级)=0.048$

⑤ 树根 属性选择: 年龄属性的 信息增益 最大 , 选择年龄属性作为树根 ;

7 . 后续工作 ( 重要 ) : 选择完树根后 , 树根属性将数据分为不同的子集 , 每个子集再计算剩余的 3 个属性 , 哪个属性的信息增益最大 , 就选那个属性作为子树的树根属性 ;

X . 信息增益计算 递归确定 划分属性

---

1 . 计算公式使用 : 根据上述公式 , 计算出每个属性的信息增益 , 递归选取信息增益最大的作为树根 ;

2 . 决策树创建算法 ( 递归 ) : 使用递归算法 , 递归算法分为递归操作 和 递归停止条件 ;

3 . 递归操作 : 每个步骤先选择属性 , 选择好属性后 , 根据 总树 ( 子树 ) 的树根属性划分训练集 ;

① 选择属性 : 递归由上到下决定每一个节点的属性 , 依次递归构造决策树 ;

② 数据集划分 : 开始决策时 , 所有的数据都在树根 , 由树根属性来划分数据集 ;

③ 属性离散化 : 如果属性的值是连续值 , 需要将连续属性值离散化 ; 如 : 100 分满分 , 将 60 分以下分为不及格数据 , 60 分以上分为及格数据 ;

4 . 递归停止的条件 :

① 子树分类完成 : 节点上的子数据集都属于同一个类别 , 该节点就不再向下划分 , 称为叶子节点 ;

② 属性 ( 节点 ) 全部分配完毕 : 所有的属性都已经分配完毕 , 决策树的高度等于属性个数 ;

③ 所有样本分类完毕 : 所有的样本数据集都分类完成 ;

5 . 下图是最终的决策树样式 :