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利用矩阵特征值解决微分方程【1】(1)，开发人员必学

作者：从前慢现在也慢 | 2024-05-12 00:31:20

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$e^{i\beta t}=cos\beta t+isin\beta t$

三. 利用矩阵解决微分方程问题

给出以下常微分方程问题：

因为初始条件都是t=0，所以这类问题又被称之为初值问题（initial value problem），其中初值在这个地方指的就是8和5。

如果将t看成时间的话，该问题的本质则是寻找v(t)和w(t)，其中t大于0

一个常微分方程问题是怎么样跟矩阵联系在一起的呢？

首先，我们将两个未知的函数写成向量的形式，叫做u(t)，如下：

那么初始值则是u(0)，如下：

系数矩阵叫做A，如下：

那么原始的两个微分方程则可以合并成一个向量形式的微分方程，如下：

很明显这是一阶求导的方程，整个运算都是线性关系。系数均为常数结构，也就是矩阵A与时间t无关。

根据经验，v(t)和w(t)均为指数函数的结果，如果可以设两个函数的形式如下：

将两者合并为向量形式，如下：

很明显该结果满足我们想要的du/dt=Au的结构。将函数 $v=e^{\lambda t}y$ 和 $w=e^{\lambda t}x$ 带入原微分方程中，可得：

可以发现这两个方程都出现了 $e^{\lambda t}$ ，可以直接约简。这个时候最神奇的地方就出现了，当约简完后，你会发现：

这不就是特征值方程！形式如下：

$Ax=\lambda x$

该特征值方程A已知， $\lambda$ 和x未知。也就是 $\lambda$ 为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征向量。接下来就可以直接利用我们熟悉的线性代数知识直接求解即可。

四. 小结

4.1 矩阵论

矩阵论是一个重要的数学分支，属于代数学范畴，需要抽象思维能力、数学建模能力以及科学计算能力。目前矩阵论的思想方法已经渗透到网络安全、经济管理以及军事学等各个领域，尤其是上世纪五六十年代以来，随着计算机科学技术的发展，网络工程、信息工程、测绘工程以及密码工程等各个专业都需要利用矩阵论课。矩阵论包括线性空间与线性变换、矩阵的范数理论、矩阵分析、矩阵分解、矩阵的特征值估计以及矩阵的广义逆等。

矩阵论有几个细节很重要，比如特征值理论、线性空间和线性变换、矩阵运算、多项式理论等，然后将其应用于行列式的计算、矩阵的初等变换以线性方程组解的判定和解的结构等。借助数值计算软件 matlab等，可以用来建立数学模型，然后构建算法，利用科学计算方法最终解决实际问题。

方阵的特征值与特征向量是一个重要的数学概念，在数据处理的统计方法、通信网络中的信息检索、图像压缩与恢复、机械振动等多个方面都有广泛的应用，例如，工程技术中的振动问题和稳定性问题，在数值上大都归结为矩阵的特征值与特征向量的问题。

4.2 特征值与特征向量内涵

矩阵的特征值和特征向量定义高度抽象，设 A 是 n 阶方阵，若存在数λ 和 n 维非零向量 x，使得 Ax = λx 成立，则称数λ 是方阵 A 的特征值，非零向量 x 为方阵 A 的特征向量。

这个时候可以引入谱分解定理。

设矩阵A可以做如下分解：

$A=P\Lambda P^{-1}$

其中矩阵P的列是A的单位正交特征向量：

$u_1,u_2,\cdots,u_n$

相应的特征值为:

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$

可以将这n个特征值形成n阶的对角阵 $\Lambda$ 。因为矩阵P为单位正交矩阵，所以可得：

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