2024第十六届华中杯大学生数学建模挑战赛C题完整分析论文_第十六届“华中杯”大学生数学建模挑战赛题目

2024第十六届“华中杯”大学生数学建模挑战赛

C题完整分析论文

 

目录

摘要 2

一、 问题重述 3

问题1重述： 3

问题2重述： 3

问题3重述： 3

二、 问题分析 4

问题1分析： 4

问题2分析： 4

问题3分析： 4

模型假设 5

三、 模型建立与求解 6

3.1问题1 6

3.1.1问题1思路分析 6

3.1.2问题1模型建立 7

3.1.3问题1样例代码（仅供参考） 8

3.1.4问题1样例代码运行结果（仅供参考） 11

3.2问题2 12

3.2.1问题2思路分析 12

3.2.2问题2模型建立 13

3.2.3问题2样例代码（仅供参考） 14

3.2.4问题2样例代码运行结果（仅供参考） 15

3.3问题3 16

3.3.1问题3思路分析 16

3.3.2问题3模型建立 17

3.3.3问题3样例代码（仅供参考） 18

3.3.4问题3样例代码（运行结果） 19

四、 模型优缺点 20

问题1 模型优缺点： 20

问题2 模型优缺点： 20

问题3 模型优缺点： 20

五、 模型推广 21

问题1模型推广： 21

问题2模型推广： 21

问题3模型推广： 21

 

 

 

摘要

随着光通信技术和光纤传感技术的快速发展，光纤传感器作为一种新型的传感器技术，在结构监测、环境监测、生物医学等领域得到了广泛的应用。光纤传感器利用光波在光纤中的传输特性，通过感知光信号在传感器中的变化来监测外部环境的参数变化。光纤传感器具有质地轻、体积小、抗电磁干扰能力强、灵敏度高等优点，因此在结构监测等领域有着广泛的应用前景。其中，平面曲线重构是光纤传感技术中的一个重要问题。通过对光纤传感器信号的解调，可以获得结构的实时应变信息，并根据这些信息重构得到结构的形变或位移。平面曲线重构是指利用光纤传感器解调系统解调出来的应变信息，间接求出曲率等信息，并基于这些信息对平面曲线进行重构。通过平面曲线重构，可以实现对结构形变的实时监测和分析，为结构安全性评估和故障诊断提供重要依据。

 

对问题1，本研究针对光纤传感器波长测量数据与曲率之间的关系展开了探讨。首先，我们建立了基于实验数据的曲率估算模型，通过实验测量得到的波长数据，预测了不同位置处的曲率值。其次，我们分析了模型的优缺点，发现其在实际应用中存在着线性关系假设和参数确定困难等限制。然而，该模型仍为光纤传感器曲线重建提供了一种简单直观的数学方法。

 

对于问题2，针对光纤传感器曲线重建问题，我们提出了基于实验数据和数学模型的曲线重构方法。通过采用插值方法，我们成功地重构了平面曲线，并与原始曲线进行了比较分析。实验结果表明，重构曲线与原始曲线之间存在一定的误差，主要源于数据的不确定性和插值方法的局限性。然而，这种基于实验数据的曲线重构方法为光纤传感器等领域的应用提供了一种有效的数学建模手段。

 

对于问题3，本研究围绕平面曲线方程展开了探索，以适当的等间距弧长采样，计算了采样点的曲率，并通过采样的曲率重构了平面曲线。结果显示，重构曲线与原始曲线之间存在最大误差和平均误差较小的情况，说明了基于数学模型的曲线重构方法的可行性。然而，仍需注意曲线采样点数量和曲率计算精度对重构曲线准确性的影响。

 

通过本研究，我们对光纤传感器的平面曲线重建问题进行了深入探讨，提出了一系列数学建模方法，并对其在实际应用中的优缺点进行了讨论和分析。这些研究成果为光纤传感器相关领域的进一步研究和应用提供了理论支持和参考依据。

 

关键词：光纤传感器、平面曲线重建、波长测量数据、曲率估算模型、插值方法

 

 

问题重述

问题1重述：

在本问题中，我们将利用提供的光纤传感器波长测量数据，建立一个数学模型，用于估算平面光栅上各个传感点的曲率。我们假设初始点坐标为原点，并且假设光纤在平面内受力后在初始位置的切线与水平方向的夹角为 45°。我们的任务是根据这些假设条件，计算给定横坐标位置处的曲率值。这将为我们提供对光纤传感器平面曲线的形态和特性的初步了解。

 

问题2重述：

在本问题中，我们将根据提供的光纤传感器波长测量数据和问题1中求出的曲率，构建数学模型，以重构平面曲线。我们将利用插值方法将测量数据转换为平面曲线的数学描述，并分析重构曲线的特点，比较其与原始曲线的相似性和差异。这将帮助我们深入了解光纤传感器曲线重建方法的有效性和局限性。

 

问题3重述：

在本问题中，我们将以平面曲线方程y=x3+x为基础，通过适当的等间距弧长采样，计算这些采样点的曲率。然后，我们将利用这些采样的曲率值构建数学模型，以重构平面曲线。最后，我们将分析重构曲线与原始曲线之间出现误差的原因，以揭示采样点数量和曲率计算精度对重构曲线准确性的影响。

 

 

问题分析

问题1分析：

问题1要求我们根据提供的光纤传感器波长测量数据，构建数学模型，估算平面光栅各个传感点的曲率。我们首先需要建立波长和曲率之间的关系模型，然后利用这个模型计算出不同位置处的曲率值。在建立模型时，需要考虑到光纤传感器在受力后的波长变化与曲率的关系，以及初始点的设定和切线方向的影响。此外，模型的准确性和稳定性也是需要考虑的因素。最终，我们将根据模型计算出的曲率值进行分析，评估其在实际应用中的可行性和有效性。

 

问题2分析：

问题2要求我们根据光纤传感器波长测量数据和问题1中求出的曲率，构建数学模型，分别重构平面曲线，并分析重构曲线的特点。我们将利用插值方法将测量数据转换为平面曲线的数学描述，然后比较重构曲线与原始曲线之间的相似性和差异。在分析过程中，需要考虑到插值方法的精度和误差传播，以及重构曲线的拟合度和平滑性。通过对重构曲线的特点进行分析，可以为光纤传感器曲线重建方法的改进提供参考和指导。

 

问题3分析：

问题3要求我们根据平面曲线方程，以适当的等间距弧长采样，计算这些采样点的曲率，并以此为基础重构平面曲线，并分析重构曲线与原始曲线之间出现误差的原因。我们将根据曲率计算公式计算采样点的曲率，并利用这些曲率值重构平面曲线。在分析重构曲线与原始曲线之间的误差时，需要考虑到采样点数量和曲率计算精度对重构曲线准确性的影响，以及采样点之间的间距对曲线形态的影响。通过对误差来源的分析，可以为曲线重构方法的改进提供指导和建议。

 

模型假设

问题1模型假设：

线性关系假设： 模型假设波长与曲率之间存在线性关系，即曲率与波长之间的变化符合线性函数关系。

常数参数假设： 模型假设其中的常数参数 

c 是固定不变的，即在不同条件下不发生变化。

稳定性假设： 模型假设光纤传感器的测量结果稳定，不受外界因素干扰，且实验环境保持稳定。

 

问题2模型假设：

数据完整性假设： 模型假设实验数据完整且准确，能够充分反映曲线的形态和特性。

连续性假设： 模型假设曲线在相邻采样点之间是连续的，没有出现断裂或突变。

插值方法假设： 模型假设采用的插值方法能够准确地重构曲线，即在采样点之间能够实现平滑过渡。

 

问题3模型假设：

 

 

 

模型建立与求解

3.1问题1

3.1.1问题1思路分析

 步骤一：数据处理与理解

1. 计算波长差: 对于每个传感点，我们需要计算测试状态下与初始状态下的波长差，即用测试状态下的波长减去初始状态下的波长。

2. 初始波长计算: 由于初始状态下的切线与水平方向的夹角为45°，我们可以假设在初始状态下的波长等于测试状态下垂直于切线方向的波长。

 

 步骤二：数学模型建立

1. 曲率与波长差关系: 我们假设波长差与曲率成线性关系，即波长差等于某个常数乘以曲率。

2. 初始状态下波长的确定: 根据初始状态下的切线与水平方向的夹角为45°，我们可以假设初始状态下的波长等于测试状态下垂直于切线方向的波长。

 

 

 

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