【智力题】汽车加油问题_一辆载油500升旳汽车从a开往

一辆载油500升的汽车从A开往1000公里外的B，已知汽车每公里耗油量为1升，A处有无穷多的油，其他任何地点都没有油，但该车可以在任何地点存放油以备中转，问从A到B最少需要多少油？

最少耗油的要求，先得有几个前提： 1.汽车到达终点时油箱是空的。2.路上的每一个中转点都没有剩下油。

现在画一个数轴，代表起点到终点的路径，在这个数轴上取m个点，分别记为X(1)，X(2)，...，X(m)。X(i)表示第i个点到终点的距离。1号点为起点，m号点为终点。所以有X(0)=0，X(m)=1000。设汽车油箱的容量为A，由题目可知A=500。设S(i)表示在第i最少存放多少升油，那么显然S(m)=0，而我们要求的就是S(0)。再设n(i)为从第i-1点到第i点需要的往返次数（注意，一去一回代表一次往返）。好，以上就是需要定义的一些符号，

下面开始推导过程：

 从i-1点往i点运油时，最节省的情况是从i-1点出发时应该油箱装满油，然后在i点放下油后回到i-1点时油箱是空的，这时候运油的

效率是最高的。所以有： S(i) = A - [X(i)-X(i-1)] + {A - 2*[X(i) - X(i-1)]}*n(i)。

上式中A - [X(i)-X(i-1)]是最后一次从i-1点到i点油箱中剩下的油；{A - 2*[X(i) - X(i-1)]}*n(i)表示在n(i)次往返过程中总共 在i点存下的油。把上式化简合并一下得到式(1):

S(i) = [n(i) + 1]*A -[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]      -----(1)

又因为到第i点存下的油等于第i-1点存下的油减去从i-1点到i点的总损耗，而从i-1点到i点的总损耗为[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]，所以有下式：

S(i) = S(i-1) -[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]。

把(1)式带入上式则可得到式(2-1):

S(i-1) = [n(i) +1]*A   -----(2-1)

同理有式(2-2)

S(i) = [n(i+1) +1]*A  -----(2-2)

 

用(2-1)减去(2-2)得到式(3):

 S(i-1) - S(i) = [n(i) -n(i+1)]*A      -----(3) 

因为S(i-1) - S(i)表示的是从i-1点到i点的总损耗，而A是固定值，所以由(3)式得知，要使总损耗最小，就需要n(i) - n(i+1)最小 

，因为S(i-1) - S(i)必然>0，所以n(i) - n(i+1)>0，且n[i]是整数，所以就有min([n(i) - n(i+1)]) = 1。所以有式(4)：

n(i) - n(i+1)= 1==> n(i) = n(i+1) + 1   -----(4) 

把式(4)代入式(2-2)就得到式(5)：

S(i) =n(i)*A                          -----(5) 

再把式(5)代入式(1)并化简就可以得到式(6):

X(i) - X(i-1) =A/[2*n(i) + 1]        -----(6) 

X(i) - X(i-1)表示的相邻两点之间的距离，所以显然要达到终点的话就必须有：

 

又因为n(m)=0，即从最后一个中转点到终点是不需要往返的。再由式(4)就有：n(m-1) = 1，n(m-2) = 2, …，即有n(i) = m-i成立。我们从终点往起点回退，再由上式就有：

 

所以求出来m=8。但是m=8时，求出来的和 约等于1010.9比1000大，所以不能由式(5)直接算S(0)，而应该先算S(1) = (m-1)*A = (8-1)*500 = 3500升。也就是说在第一个中转点应该要存3500升油。然后再算从第0点到第1点的损耗，由前面的计算我们可以得到X(1) = 1000 – (500 + 500/3 + 500/5 + 500/7 + 500/9 + 500/11 +500/13) ≈ 22.433米。

所以从第0点到第1点的总耗损可以由前面的总损耗公式[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]求出： [2*n(1) + 1]*(22.433- 0) = (2*7 + 1)*22.433 = 336.495

所以总耗油量就约为 3500 + 336.495 = 3836.495升。

 

 

 

题目可归结为求数列   an=500/(2n+1)   n=0,1,2,3......的和Sn什么时候大于等于1000,解得n> 6 　　当n=6时，S6=977.57 

所以第一个中转点离起始位置距离为1000-977.57=22.43公里 

　所以第一次中转之前共耗油   22.43*(2*7+1)=336.50升 
　　此后每次中转耗油500升 
　　所以总耗油量为7*500+336.50=3836.50升

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怎么感觉这么难。。。

转自  http://blog.csdn.net/taoqick/article/details/12432769