微积分(二) 导数与微分

前言

导数反映了函数值相对于自变量的变化快慢程度，而微分则表明当自变量有微小变化时，函数值大体上变化多少

瞬时速度的解决——极限

牛顿采用了一种无限逼近的方法。

平均速度的定义:如果一个物体在一段时间△t内位移了s,它在这段时间内的平均速度是:△s/△t.

由于物体在某一时刻的位移s由时间t决定，因此它是t的函数,可以写成s(t)的形式.如果我们在一个坐标系中用横坐标表示t,纵坐标表示s,那么物体在任意时刻的位移就是一条曲线,如图

如图,当时间间隔△t逐渐变小时，△s/△t的比值会越来越接近t.点的速度。最后当△t趋近于0时，三角形斜边所在的直线，就是曲线在t.点的切线，它的斜率就是物体在t.点的瞬时速度
$$V(t)=\underset{△t\to 0}{\lim }△s/△t$$
通过极限的概念，牛顿将平均速度和瞬时速度联系起来了。这一点在认识论上有很重大的意义，它说明宏观整体的规律和微观瞬时的规律之间并非是孤立的，而是有联系的。

当然，如果只是通过极限思想计算出一个时间点的瞬时速度，比起两千多年前阿基米德用割圆术估算圆周率也没有太多进步。牛顿了不起的地方在于，他认识到函数变化的速率，也就是函数曲线上每一个点切线的斜率，本身又是一种新的函数，他称之为流数，就是我们今天所说的导数，原先的函数也因此被称为原函数。

1. 导数的本质，就是对原函数变化快慢的规律性的描述
2. 有了导数，人们对函数变化快慢的度量，就从定性估计精确到定量分析了，我们甚至可以准确地度量一个函数在任意一个点的速率变化，也可以对比不同函数的速率变化。

导数

看看下面两个例子

例6.求函数 $f(x)=|x|$在x=0 处的导数。

即函数可导性与连续性的关系

1. 如果函数在 $y=f(x)$在点$x$处可导，则函数必在该点连续
2. 一个函数在某点连续却不一定在该点可导

根据导数定义得初等函数求导公式

函数的四则运算的求导法则

对式3为例子证明

反函数的求导法则

简言之，反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

复合函数的求导法则

简言之，如果里层函数在 $x_0$点处可导，外层函数在相应的$u_0$ 处可导，那么复合函数在 $x_0$处可导，且导数是外层函数在 $u_0$处的导数值乘以里层函数在 $x_0$ 处的导数值。

隐函数的导数

为什么要讨论隐函数的导数呢？何不先把隐函数显化，然后再求导呢？原因是有时候隐函数显化的过程非常困难，所以不如直接在隐函数的基础上进行求导来的简单。

对$y^5$求导,可以看成是一个复合函数的操作

1. $g(y)=y^5$
2. $y=f(x)$

则 $g^{\prime }(x)=g^{\prime }(y)f^{\prime }(x)=5y^4\frac{dy}{dx}$

由参数方程所确定的函数的导数

有时候很难根据参数方程求出其确定的函数表达式，从而求导函数。所以我们希望可以直接在参数方程的基础上求导，下面我们来讨论如何直接根据参数方程求其确定的函数的导函数。

微分：描述微观世界的工具

什么是微分呢？它其实就是在前面有关速度的例子中提到的，当△t趋近于零时，位移量△s的值。对比一般性的函数y=f(x),我们用dx表示自变量趋于零的情况，用dy表示函数的微分。

如果我们对比一下导数的定义和微分的定义，就可以看出它们讲的其实是一回事，因为dy=f’(x)*dx，因此，我们也经常直接把导数写成：f’(x)=dy/dx

如果我们孤立地看微分少，就是无穷小，定义微分这样一个新概念有什么必要呢？

我们用一个具体的例子来说明。假如你是一个工程师，要建造一个巨大的储油噬，无论增大半径还是增加高度，都有相当大的工程难度。而现在建造经费有限，只能在一个维度上增大储油罐的体积，你应该怎么做呢？

我们知道，圆柱体的体积等于圆周率π乘以半径平方再乘以高度，即$V=\pi r^{2}h$.如果要问圆柱体的体积随半径变化快还是随高度变化快.在没有微分这个概念时，一般人根据直觉，会觉得随半径变化快，因为体积和半径之间是平方关系，而随高度变化只是线性关系。

真实情况是什么样呢？我们可以对这两种变化趋势做量化的对比：在半径和高度特定的条件下，看看半径增长一个很小的单位，体积增加多少；再看看高度增加同样的单位，体积增加多少。先来看半径增长对体积的影响。

所以当储油罐比较"扁平"时，应该增加高度。

微分在近似计算中的应用

工程上也会近似公式的方式来估值

微分中值定理

通过研究函数$f(x)$,总结出一定的规则

费马（Fermat）引理

即最高点斜率为0.

罗尔（Rolle）定理

即两头相待,中间必为出来斜率为0的

拉格朗日（Lagrange）中值定理

利用罗尔定理，证明拉格朗日（Lagrange）中值定.

柯西（Cauchy）中值定理

证明:略,请参考《第十九讲 微分中值定理》

主要参考

《第十三讲 导数的概念》
《第十四讲 函数的求导法则》
《第十六讲 隐函数和参数方程所确定函数的导数》
《第十七讲 函数的微分》
《第十九讲 微分中值定理》
《微分和导数的关系是什么》