学习day1 数学建模

学习数学建模，教程为B站数模加油站，这里当笔记 / 心得。
之前看的清风，讲的很长，还不清晰，写了一般，后面看了数模加油站之后转了。

层次分析法（AHP）

基本步骤

1. 建立递阶层次结构模型
2. 构造出各层的所有判断矩阵
3. 一致性检验
4. 求权重后进行评价

建立递阶层次结构模型

只需要找出三层的各个选项即可，分别为：目标、评价指标、待评价的对象。

构造出各层的所有判断矩阵

判断矩阵：

主要对一个指标相对于另一个指标的重要程度的描述，用矩阵表示应该是方便描述和计算。

这一部分比较主观，所以可能出现问题。

比如：
观察第二行第三列和第四列可以得到：作品数量<颜值<作品质量
但是直接比较作品数量和作品质量，即第四行第三列，可以得出作品数量>作品质量。

得出的结果前后矛盾，所以需要一致性检验。

一致性检验

一致矩阵： $a_{ij}=a_{ik}\ast a_{kj}$ 且 矩阵的各行各列成倍数关系。

条件1：$a_{ij}=a_{ik}\ast a_{kj}$
$a_{ik}=\frac{b_i}{b_k}$，$a_{kj}=\frac{b_k}{b_j}$，$b_k$ 约分即可得出。（$b_i$表示k评价指标的重要程度）

条件2：各行各列成倍数关系
以列为例，对于第 k 列和第 j 列有$a_{ik}=\frac{b_j}{b_k}{a}_{ij}$，所以第 k 列是第 j 列的$\frac{b_j}{b_k}$倍

一致性检验原理： 检验我们构造的判断矩阵和一致性矩阵是否有太大的差别。

证明就略过了。

一致性检验步骤：

1. 计算一致性指标 $CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$ （${\lambda }_{max}$为一致矩阵最大的特征值，n为指标个数）
2. 查找对应的平均随机一致性指标RI（查表）
   
3. 计算一致性比例CR
   

举例：

求权重后进行评价

通过一致性检验后，就可以对每个指标计算权重，再求加权和即可。

计算权重共有三种方法：

1. 算数平均值
2. 几何平均值
3. 特征向量

算数平均值

1. 将每列进行归一化
2. 每个指标的权重为每行求算术平均值

import numpy as np

# 定义判断矩阵A
A = np.array([[1, 2, 3, 5], [1/2, 1, 1/2, 2], [1/3, 2, 1, 2], [1/5, 1/2, 1/2, 1]])

# 计算每列的和
ASum = np.sum(A, axis=0)

# 获取A的行和列
n, _ = A.shape

# 归一化
Stand_A = A / ASum

# 各列相加到同一行
ASumr = np.sum(Stand_A, axis=1)

# 计算权重向量
weights = ASumr / n

print(weights)
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几何平均值

1. 每行求几何平均值。（相乘开n次方）
2. 将得到的几何平均值进行归一化。

# 将A中每一行元素相乘得到一列向量
prod_A = np.prod(A, axis=1)

# 将新的向量的每个分量开n次方等价求1/n次方
prod_n_A = np.power(prod_A, 1/n)

# 归一化处理
re_prod_A = prod_n_A / np.sum(prod_n_A)
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特征向量

找到最大的特征值对应的特征向量，进行归一化。

# 找出对应的特征向量
max_vector = eig_vectors[:,np.argmax(eig_values)]

# 对特征向量进行归一化处理,得到权重
weights = max_vector / np.sum(max_vector)
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