机器学习李宏毅学习笔记-1_李宏毅正态分布

1、了解什么是Machine learning？

那么机器学习到底是什么东东呢？是造一个机器人来学习吗，非也。按照李宏毅老师的说法，机器学习相当于找一个函数(looking for a Function)。

ML的一般步骤：
step1: Model(a set of functions)

第一步就是找个模型，也就是找一个函数/算法模板。线性回归的模型呢，就是一个线性的函数啦: y = wx+b (w和x为向量)

step2: Goodness of functionon(Loss function)

确定了模型的构造方法，下一步就是确定模型的具体参数。这一步通常会构建损失函数来衡量模型的好坏，线性回归用到的损失函数是均方误差，也就是经典的“最小二乘法”

step3: Pick the ‘best’ function

得到了损失函数，接着就是怎么求解了。也许你会直接背出公式，但对于计算机来说，采用梯度下降的方法可能更简单一些.

2、学习中心极限定理，学习正态分布，学习最大似然估计

中心极限定理：
设随机变量X1，X2，…Xn，…独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差：E(Xi)=μ，D(Xi)=σ^2(i=1,2…)，则对任意x，分布函数
$$F_n(x)=P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\right\}$$
满足：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi (x)$$

正态分布的概率密度函数：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
记作：$$X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$$
当$\mu =0,{\sigma }^2=1$ 时, 记作 :$$X\sim N\left(0,1\right)$$ 为标准正态分布函数 :$\Phi (x)$

极大似然估计：
极大似然估计，只是一种概率论在统计学的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
求极大似然估计步骤：
1、写出似然函数(连续性):
$$L\left(\theta |x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n|\theta \right)=\prod f\left(x_i|\theta \right)$$
2、取对数
$$\ln L\left(\theta |x_1,\dots ,x_n\right)=\sum _{i=1}^n\ln f\left(x_i|\theta \right)$$
3、求出使得对数似然函数取最大值的参数的值

让$\frac{\partial \ln L(\theta |x_1,\dots ,x_n)}{\partial {\theta }_j}=0,j=1,2,\dots ,k$解得:$\theta$

2.1推导回归Loss function

线性回归模型可以表示为：
1、$y=h_{\theta }(x)+ϵ$
2、${ϵ}^{(i)}\sim N\left(0,{\delta }^2\right),{ϵ}^{(i)}$服从正态分布
即y由模型拟合以及随机扰动构成，而由中心极限定理，我们假设随机扰动ϵ服从均值为0方差为${\delta }^2$的正态分布。
由于中心极限定理和大数定理：
$$p\left(y^{(i)}|y^{(i)};\theta \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
1、求得到极大似然函数：
L ( θ ) = ∏ i = 1 m p ( y ( i ) ∣ y ( i ) ; θ ) = ∏ i = 1 m 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( y ( i ) − θ T x ( i ) ) 2 2 σ 2 )

$$\begin{array}{c}{L(\theta)=\prod_{i=1}^{m} p\left(y^{(i)} | y^{(i)} ; \theta\right)} \\{=\prod_{i=1}^{m} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{\left(y^{(i)}-\theta^{T} x^{(i)}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)}\end{array}$$ L(θ)=∏i=1m​p(y(i)∣y(i);θ)=∏i=1m​2π ​σ1​exp(−2σ2(y(i)−θTx(i))2​)​
2、取对数
$$\log L(\theta )=\log \prod _{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)=\sum _{i=1}^m\log \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)=m\log \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{{\sigma }^2}\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2$$
3、取最大值：
要取得上述函数的最大值，只能使得：$$\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2$$
所以我们得到线性Loss function
$$J(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2$$
为了消除数据量的影响，改进线性损失函数为：
$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2$$

2.2 学习损失函数与凸函数之间的关系

如果损失函数是凸函数（convex）的，梯度下降算法就一定能达到全局最优解。

2.3了解全局最优和局部最优

损失函数在梯度下降的过程中，可能会下降到局部最优点，局部最优点为极小值，而并非全局最优的最小值
如果损失函数为凸函数时，梯度下降能达到全局最优

3、学习导数，泰勒展开

导数：
$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
泰勒展开：
$$f(x)=\frac{f\left(x_0\right)}{0!}+\frac{f^{\prime }\left(x_0\right)}{1!}\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x-x_0\right)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n(x)$$
常用的拉格朗日余项：$R_n(x)=f^{(n+1)}\left[x_0+\theta \left(x-x_0\right)\right]\frac{{\left(x-x_0\right)}^{n+1}}{(n+1)!}$

3.1推导梯度下降公式

梯度下降公式的推导：
假设函数：$h_{\theta }\left(x_0\right)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_i,i=1,\cdots ,n$

代价函数：$J(\theta )=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n{\left(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\right)}^2$
梯度下降公式：
$${\theta }_0:={\theta }_0-\alpha \cdot \frac{\partial }{\partial {\theta }_0}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$$
$${\theta }_1:={\theta }_1-\alpha \cdot \frac{\partial }{\partial {\theta }_1}\cdot J\left({\theta }_0,\theta \right)$$
梯度下降推导公式：
$${\theta }_0={\theta }_0-\alpha \cdot \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left(h_0\left(x_i\right)-y_i\right)$$
$${\theta }_1={\theta }_1-\alpha \cdot \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\left(h_g\left(x_2\right)-y_i\right)$$

3.2写出梯度下降的代码

 def batchGradientDescent(x, y, theta, alpha, m, maxIterations):
            xTrains = x.transpose()
            for i in range(0, maxIterations):
                hypothesis = np.dot(x, theta)
                loss = hypothesis - y
                # print loss
                gradient = np.dot(xTrains, loss) / m
                theta = theta - alpha * gradient
            return theta
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4、学习L0-Norm，L1-Norm，L2-Norm

L0范数表示向量中非零元素的个数,也就是如果我们使用L0范数，即希望矩阵的大部分元素都是0. （矩阵是稀疏的）所以可以用于ML中做稀疏编码，特征选择。通过最小化L0范数，来寻找最少最优的稀疏特征项。但不幸的是，L0范数的最优化问题是一个NP,hard问题，而且理论上有证明，L1范数是L0范数的最优凸近似，因此通常使用L1范数来代替。
L1范数表示向量中每个元素绝对值的和，
$$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n\left|x_i\right|$$
L2范数表示欧氏距离：
$$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

4.1推导正则化公式

正则化公式：
$$\underset{fe\mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)+\lambda J(f)$$

其中，第1项是经验风险，第2项是正则化项， $\lambda$≥0为调整两者之间关系的系数
1范数：
$$L(w)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left(f\left(x_i;w\right)-y_i\right)}^2+\lambda \Vert w{\Vert }_1$$
2范数：
$$L(w)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left(f\left(x_i;w\right)-y_i\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\Vert w{\Vert }_2$$

4.2说明为什么用L1-Norm代替L0-Norm

L0范数的最优化问题是一个NP,hard问题，而且理论上有证明，L1范数是L0范数的最优凸近似，因此通常使用L1范数来代替。

4.3学习为什么只对w/Θ做限制，不对b做限制

因为w通常是一个高维参数矢量，w几乎涵盖了所有参数，b只是众多参数的中的一个，这样加上b来做regularization的作用不大，也可以加，只是作用不大