非线性一维搜索_非线性方程直接搜索法

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非线性一维搜索

what？

沿某一已知方向求目标函数的极小点

思想

从某个初始点$x^{(0)}$出发，沿方向$p^{(0)}$进行搜索，得到目标值较小的点$x^{(1)}$;然后，从$x^{(1)}$出发，沿方向$p^{(1)}$再次进行一维搜索，得到目标函数更小的点$x^{(2)}$;依次进行下去。

在每次迭代寻求$x^{(k+1)}$时，在确定的搜索方向$p^{(k)}$上，求一个步长${\lambda }_k$,使目标函数下降最多，即$f(x^{(k+1)})<f(x^{(k)})$。

${\lambda }_k$为最优步长因子，每次求解是一个求一元函数的极值问题，即：
$$f(x^{(k)}+{\lambda }_k{p}^{(k)})=\underset{\lambda }{\min }f(x^{(k)}+\lambda p^{(k)})=min\phi (\lambda )$$
每一次一维搜索就是对函数$\phi (\lambda )$求极值，极值${\lambda }^{\ast }$就是本次迭代的最优步长。

因此求多元函数$f(x)=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$的极值点问题，转化为一系列沿逐次确定方向求极值点的问题。

这里总结下更简单的形式：

一维函数寻优：
$$minf(x)x\in [a,b]$$
基本思想为

1. 确定$\phi (\lambda )$的搜索区间，即：函数极值点所在区间
2. 用逐步逼近的方法，确定函数极值点

实施步骤

有初始点$x_1$和步长$h$，确定搜索区间$[a,b]$的方法

1. 计算$f(x_1)$与$f(x_1+h)$

若$f(x_1)>f(x_1+h)$，

​ 极小点在试探点右侧，从$x_1+h$出发，步长加倍变为$2h$计算$f(x_1+3h)$,依次仿照此过程迭代……

若$f(x_1)<f(x_1+h)$，

​ 极小点在试探点左侧，方向错误，步长加负号变为$-h$，计算$f(x_1-h)$.

​ 若$f(x_1)\le f(x_1-h)$，极小点在$x_1-h$右侧，搜索区间设置为：$[x_1-h,x_1+h]$。

​ 若$f(x_1)>f(x_1-h)$，则从$x_1-h$向左步长加倍搜索，如上。

逐步缩小区间

初始单峰区间为$[a,b]$，任取两点$x_1<x_2$，有：

1. 若$f(x_1)<f(x_2)$，则缩小的新区间为$[a,x_2]$
2. 若$f(x_1)>f(x_2)$，则缩小的新区间为$[x_1，b]$
3. 若$f(x_1)=f(x_2)$，则缩小的新区间为$[x_1，x_2]$

然后重复迭代。

how？

黄金分割法

又称0.618法。是一种等比例缩短区间的直接搜索方法。

基本思想

比较单峰区间内两点的函数值，不断舍弃单峰区间的左端或者右端的一部分，使区间按固定区间缩小率逐步缩小，直到极小点所在区间满足给定误差范围，得到近似最优解。

关键是：如何保证区间缩小率不变？

分析

在区间$[a,b]$上选择两点$x_1,x_2$，满足:
$$\begin{gathered} x_1=a+\lambda (b-a) \\ {x}_2=b-\lambda (b-a) \end{gathered}$$
即：位置对称！

再次寻找新的选取点$x_3$时，也要求与保留点对称。

不妨假设初始区间$[a,b]$长度为1，并且$f(x_1)<f(x_2)$，则保留下的区间为：$[a,x_2]$，长度为$\lambda$。

在下一轮迭代中，$x_1$记为新的点$x_2^{\prime }$,位置在原区间的$(1-\lambda )$，新插入的点$x_1^{\prime }$位置应该在$\lambda (1-\lambda )$。

由相同的比例条件，得：
$$\frac{\lambda }{1}=\frac{1-\lambda }{\lambda }$$
可解得：$\lambda =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ 。

示意图：

算法流程

（1）给出初始搜索空间$[a,b]$，收敛精度$\epsilon$,令$\lambda =0.618$

（2）计算$x_1,x_2$ 以及对应的$f(x_1),f(x_2)$

（3）比较$f(x_1),f(x_2)$的大小，缩小搜索区间

（4）检查区间是否足够小或者函数值收敛到足够接近，若不满足，进行（5），否则，进行（6）

（5）保留区间及一个点，计算新的试探点及其相应的函数值，进行（3）

（6）取最后两个试探点的平均值作为极小点的近似值，并计算该点的函数值作为目标函数的最优解

局限：算法收敛较慢，并且信息浪费，计算试探点的函数值仅仅比较大小！

牛顿法

插值法基本思想

利用几个探索点的函数值或者一阶导数值，产生一个二次或者三次的多项式逼近目标函数，然后用多项式的极小点逼近函数的极小点。

牛顿法的基本思想是将非线性方程$f(x)=0$ 线性化，利用函数值及其一二阶导数，推导出收敛到根$x^{\ast }$的收敛序列 { x k } \{x^{k}\} {xk}。

算法分析

初始值$x_0$处泰勒展开：
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}(x-x_0{)}^2$$
若$f(x^{\ast })=0$,则，函数在零点估计值$x_k$邻域的一阶展开式为：
$$f(x^{\ast })\approx f(x^{(k)})+f^{\prime }(x^{(k)})(x^{\ast }-x^{(k)})$$
计算可得$x^{\ast }$的近似表达式：
$$x^{\ast }\approx x^{(k)}-\frac{f(x^{(k)})}{f^{\prime }(x^{(k)})}$$
每一次迭代只得到$x^{\ast }$的估计值$x^{(k+1)}$,于是可得迭代表达式：
$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha \frac{f(x^{(k)})}{f^{\prime }(x^{(k)})}k=0,1,2\cdots$$
$\alpha$ 称为搜索因子，可保证算法收敛，或者调整收敛速度，常取值为1。

示意图：

算法流程

（1）选区间$[a,b]$,使得$f(a)f(b)<0$,且$\forall x\in [a,b],f^{\prime }(x)\ne 0$

（2）给定初始估计值和误差

（3）计算$f(x^{(k)})$与$f^{\prime }(x^{(k)})$

（4）检验是否收敛，即$|f(x^{(k)})|\le \epsilon$是否成立，或者两个近似点满足收敛条件，则$x^{\ast }=x^{(k)}$。计算结束。否则，继续。

（5）计算$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha \frac{f(x^{(k)})}{f^{\prime }(x^{(k)})}$$

（6）返回（3）

收敛较快，但是迭代收敛性依赖初始点的选择，且计算工作量较大。

抛物线法

与牛顿法 的迭代公式不同：
$$x^{(k)}=\frac{A}{2B}$$
其中：
$$\begin{gathered} A=((x^{(k-1)}{)}^2-(x^{(k-2)}{)}^2)f(x^{(k-3)})+((x^{(k-3)}{)}^2-(x^{(k-1)}{)}^2)f(x^{(k-2)})+((x^{(k-2)}{)}^2-(x^{(k-3)}{)}^2)f(x^{(k-1)}) \\ B=((x^{(k-1)})-(x^{(k-2)}))f(x^{(k-3)})+((x^{(k-3)})-(x^{(k-1)}))f(x^{(k-2)})+((x^{(k-2)})-(x^{(k-3)}))f(x^{(k-1)}) \end{gathered}$$

小结

介绍了黄金分割法、牛顿法、抛物线法。当函数有比较好的解析性质时，牛顿法与抛物线法一般比0.618法的效果好。