DCT离散余弦变换原理与应用讲解

1 前言

JPEG是joint Photographic Experts Group(联合图像专家组)的缩写，文件后辍名为”．jpg”或”．jpeg”。 
jpg图片可以说是最常见的图片格式了，基本上你的自拍照，要么是png的，要么就是jpeg的了。（有关jpeg和png的区别，请参考我的另一博文【jpeg 与 png 图片格式的区别】） 
但它是一种有损压缩。支持多种压缩级别，压缩比率通常在10：1到40：1之间，压缩比越大，品质就越低；相反地，压缩比越小，品质就越好。

那么，JPEG是如何压缩的呢？靠的就是传说中的DCT(离散余弦变换)。

下图是JPEG压缩/解压缩的流程图。我想你最大的疑问估计就是DCT了。 

 

2 JPEG压缩流程

2.1 以8x8的图象块为基本单位进行编码

如下图所示。比如一个160x160大小的原始图像，就可以分成20x20个8x8图像块。 

每个图像块共64个像素。像素可以用RGB或YUV表示，需要3个byte。所以严格来说，上图3个箭头代表的数据，指的是RGB/YUV的某一个值，比如Y。

2.2 将RGB转换为亮度-色调-饱和度系统（YUV），并重新采样
YUV是什么？它也是一种很不错的图像数据表示方法，特别是在视频领域。 
Y：指颜色的明视度、亮度、灰度值； 
U：指色调； 
V：指饱和度。

YUV是一个统称，其实有很多具体格式，比如YUV420, YUV444, YUV422。 
YUV的某些格式，和RGB比起来，其数据量要少很多。 
比如YUV420，每个像素需要一个Y，每4个像素需要一个U/V，因此一个8*8图像块，数据量只要8x8x3/2 = 96byte。而RGB需要8x8x3 = 192byte。少了一半的数据量。现在很多视频都是YUV420作为色域。 
当然啦，在本次转换，用的是YUV444， 也就是每个像素都有YUV的值。

YUV与RGB可以互相转换。 
Y=0.299R+0.587G+0.114B 
U=0.148R-0.289G+0.473B 
V=0.615R-0.515G-0.1B

2.3 FDCT与IDCT
一个是正变换，一个是逆变换。反正都可以称为离散余弦变换。 
根据8*8的二维DCT定义

 其中：0<= u, v < 8 

 a(v) = a(u) 

是输入8x8像素的坐标。

 

是输出的8x8变换结果的坐标。

不要把上式看的有多难，也不要被“离散余弦变换”这个词给吓到，其实他没什么（如果你非要去追究，那就打开“信号与系统”的书复习一下吧，我拦不住你哈），上式其实就是一个运算公式而已。
输入就是8x8的数据矩阵，经过计算，输出还是一个8x8的数据矩阵。
其实上式可以简化为：

 

并且A和A转置矩阵都是已知的。所以，说白了，就是个矩阵运算。对程序来说，很简单。

称G（0,0），也就是输出8x8矩阵的（0,0）坐标的值，为直流系数，其他为交流系数。 
之所以称它为直流系数，是因为当u, v = 0时，cos()结果都为0，所以最后结果就是输入矩阵的8x8的每个数值的和，再乘于a(u) x a(v) x 1/4 = 1/8。

当然了，输入数据其实是有3个的，也就是YUV，因此对每个8x8的原始图像数据，需要做3次DCT。

2.4 量化与反量化
定义：将DCT变换后的临时结果，除以各自量化步长并四舍五入后取整，得到量化系数。 
为什么可以量化？！ 
因为经过DCT后，数据就不同了，左上方都是大数值，右下方都是小数值。比如左上方都是几十几百的，右下方附近，都是个位数，那么，大数值和小数值就可以分别量化。

在术语里，左上方称为低频数据，右下方称为高频数据。 
你要是不理解，可以这么想，既然G（0,0）都是直流分量了，那频率不就是0？不就是所谓的低频？^^

还是不理解？好吧，那你也可以这么想： 
比如cos(ax)，a是常数，x是变量。那么，根据频率f = a/2π，a越大，函数的频率越高。 
看看DCT公式： 

u,v 越大，则越在右下方对吧。当计算某个G(u, v)时，x, y是变量，u, v相当于常数，当u/v越大，则频率越高！ 
这就是为啥右下方称为高频数据了！

好了，别走偏了，还继续说量化。 
JPEG系统分别规定了亮度分量和色度分量的量化表，色度分量相应的量化步长比亮度分量大。

对量化系数的处理和组织 
思想：JPEG采用定长和变长相结合的编码方法。 
直流系数：通常相邻8*8图象块的DC分量很接近，因此JPEG对量化后的直流分量采用无失真DPCM编码。通常JPEG要保存所需比特数和实际差值。

交流系数：经过量化后，AC分量出现较多的0。JPEG采用对0系数的行程长度编码。而对非0值，则要保存所需数和实际值。 
ZIG-ZAG排序：为使连续的0个数增多，采用Z形编码。 
 

 

你要是不理解，看看下面的例子，就知道为啥ZIG-ZAG可以俘获更多的0了！

3 应用举例

3.1 编码

某个图象的一个8*8方块，的亮度值。 

 由于一个字节是0~255，为了减小绝对值波动，先把数值移位一下，变成-128~127。 

 接着，根据DCT变换公式，各种计算，获得临时结果。 

 根据亮度量化表量化后得到的量化系数矩阵 

 获得量化结果：

 可见，新的数据，很小，很多是0。正如上文所说，这么多0，完全可以用游程编码，大大缩小数据量。

3.2 解码

先游程编码恢复为 

 然后，根据量化表，恢复 

 再根据反离散余弦变换的公式： 

 结果为： 

 再右移127，恢复原始。 

 和原始图像的数据相比，基本是一样的，或者近似的！

4 其他

必须再强调的是，JPEG压缩是有损失的，从上面的例子就看出来，输出结果并不是完全等于输入。 
此外，JPEG压缩比例是可以控制的，只不过图像质量会变差。比如 
压缩率：10 

 压缩率：50 

 

JPEG压缩比例，就是通过控制量化的多少来控制。比如，上面的量化矩阵Q，如果我把矩阵的每个数都double一下，那是不是会出现更多的0？！说不定都只有G(0, 0)非0，其他都是0，如果这样，那编码时就可以更省空间啦，N个0只要一个游程编码搞定，数据量超小。但也意味着，恢复时，会带来更多的误差，图像质量也会变差了。

参考： 
https://en.wikipedia.org/wiki/JPEG#Discrete_cosine_transform