重积分及简单例题_椭圆二重积分dxdy换元rdrdθ例题

一 二重积分

背景

几何意义：曲顶柱体的体积

求解步骤

本质：二重积分是一个数，即柱体的有向面积。当f(x,y)>=0时候，其值等于以积分域D为底，以曲面z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。

物理意义：薄板的质量

1.1 概念与性质

定义

注解 一般可认为dxdy是一个1*1的单位正方形区域，极限存在才能称这个极限是二重积分

可积不一定连续，可能存在一个间断点

性质

**线性**
1

**区域**
1

**不等式**
1

**积分中值**
1

证明

应用举例
$$\begin{gathered} D_{\Delta }=\{(x,y)|x^2+y^2\le t^2\} \\ I=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\iint }_D\cos (x^2+y^2)d_D}{t^2} \\ =\frac{\cos ({\alpha }^2+{\beta }^2)\cdot 2{\pi }^2\cdot t^2}{t^2} \\ =2{\pi }^2\cos ({\alpha }^2+{\beta }^2)=2{\pi }^2 \end{gathered}$$

区域对称性

轴

y（左右对称，y相同看x）

x（上下对称，x相同看y）

线 、轮换对称性

依据
$$\int {\int }_{D_{(}x,y)}f(x,y)dxdy=\int {\int }_{D_{(}y,x)}f(y,x)dydx$$
y = x

y = - x

原点

若区域D关于原点(0,0)对称，若f(x,y)=f(-x,-y),则为偶（相加为2倍）；f(x,y) = -f(-x,-y)，则为奇（相加为0）。?

1.2 计算方法

步骤

• 做出区域D图形，观察积分区域和被积函数是否可用极坐标
• 观察对称性，根据奇偶性或y=x简化
• 确定积分次序、上下限与积分方法

直角坐标法

想象成把面包切成一片片的过程，每一片的体积进行求和即为整个面包的体积，而每一片的体积也是使用积分进行求和得到。
1

x型计算过程推导

x型：垂直x轴进行切片（竖切），先y后x，在某一点x₀处，x₀是不变的，y的值是与x有关，因此上下限为x=Y_i(x)

y型：垂直轴y进行切片，先x后y，在某一点y₀处，y₀是不变的，x的值是与y有关，因此上下限为y=X_i(y)

极坐标法

适用情况

定义
$$x=r\cos \alpha ,y=r\sin \alpha ,x^2-y^2=r^2\cos 2\alpha ,rdrd\theta =dxdy$$

(不在原点的，注意坐标启示)

【例题】

改积分次序

【例题】2011数学一

1.3 常见圆的r

【例题】

r型推导

θ型推导

扇形面积公式

另外一种推导方式
$$\begin{gathered} S_{扇}=\frac{1}{2}{r}^2\theta \\ \Delta \Theta =\frac{1}{2}(r+dr{)}^{2}d\theta -\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta \\ =rdrd\theta +\frac{1}{2}(dr{)}^2\theta (高阶无穷小) \\ \therefore d\Theta =rdrd\theta =dx\cdot dy \end{gathered}$$
使用特征：被积函数f(x,y)中含义x^2+y2 或 积分区域D中含有x^2+y2时候可以考虑使用

二 三重积分

背景

2.1 概念与性质

定义

性质

线性

轮回对称性

奇偶

中值

当几何意义是体积时候，可与二重积分相互转换。

2.2 计算方法

围成的是一个立体，不能代

直角坐标法

切片法

先二后一（先x、y后z） 适用于旋转体、f(x,y,z)=g(z)【后面的二重积分只计算面积即可】

简单理解：求出每一薄片(横着切片)的质量然后从上到下进行求和即为整个几何体的质量。每一次dz的z相当于是常数，根据区域函数可得x，y的范围。

计算推导过程

例题 （每一片z是已知的，用于约束x、y的范围，下面r的上限应该是 sqrt{4-z²}）

铅直投影法

先一后二（先z后x、y）

简单理解：求出每一细棒（竖着切成火腿肠）的质量之和，然后对整个进行求和，即为几何体质量之和。（为什么要是投影的积分域？因为这样才包含了所有的竖列。如果是两个漏斗合并在一起，是不是要分开成两个计算？）

计算推导

例题

球面坐标变换

dv=r^2sinδdrdθdδ

坐标关系

计算推导 注意 $x^2+y2 = r^2 sin^2 φ $

例题

2

柱面坐标变换

简单理解 定积分+极坐标下的二重积分，其实就是直角坐标法把二的部分改用为极坐标。

适用于被积函数里有圆，区域曲面有圆

计算推导

例题

三 应用

几何

曲面面积即为当被积函数为1时的第一型曲面积分

3.1 质心与形心

质量中心（类似数学期望）也可称为重心，若是曲面则把dxdy换成dS即可

二维

$$\begin{gathered} \frac{dm}{m}=\frac{f(x,y)dxdy}{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy}(质量占比) \\ \bar{x}={\iint }_D\frac{xf(x,y)dxdy}{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy}=\frac{{\iint }_{D}xf(x,y)dxdy}{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy} \end{gathered}$$

当f(x,y) = p = 常数时，形心即为质心。
$$\begin{gathered} \bar{x}=\frac{{\iint }_{D}xpd\Theta }{{\iint }_{D}pdxdy}=\frac{p{\iint }_{D}xd\Theta }{p{\iint }_{D}1dxdy}=\frac{{\iint }_{D}xd\Theta }{S_D} \\ \bar{y}=\frac{{\iint }_{D}ypd\Theta }{{\iint }_{D}pdxdy}=\frac{p{\iint }_{D}yd\Theta }{p{\iint }_{D}1dxdy}=\frac{{\iint }_{D}yd\Theta }{S_D} \end{gathered}$$
转动惯量

三维

转动惯量（若是曲面，则换成二重积分+dS）

引力

应用举例（一般被积函数为x、y且几何中心好求时候可以使用逆公式）

2

【例题】2019数一

四 基础题型

概念

改次序

当被积函数不易积出的时候，把难积的部分作为常数，易积的放到右边。

e k x d x ,   cos ⁡ k x d x ,   sin ⁡ k x d x sin ⁡ x x ,   x 2 n e ± x 2 d x

$$\begin{aligned} & e^{\frac{k}{x}}dx ,\ \cos \frac{k}{x}dx, \ \sin \frac{k}{x}dx \\ & \frac{\sin x}{x}, \ x^{2n}e^{\pm x^2}dx \end{aligned}$$ ​exk​dx, cosxk​dx, sinxk​dxxsinx​, x2ne±x2dx​
理解确定第二个积分的上下限函数：例如∫_y ∫_x ，

• 当y是确定的时候，左右两边的x是确定的
• 因此∫_x的上下限是关于y的函数，即x=g(y)
• 当求完∫_x后求∫_y,必然是和y有关的函数，若还有x，是积不出的

2. 变积分限函数求导 [1,t]; [y,t]

二重积分

步骤：画图—对称或奇偶(注意复杂函数)—直角或极坐标—定次序—计算 。若带有绝对值，则根据画出绝对值边界，化为为两个区域求解。

2. 奇偶对称性

4. 分段积分

三重积分

f ( y , z ) = 0 { x 2 + y 2 ≤ y 0 2 z = z 0 f ( x 2 + y 2 , z ) = 0 f(y,z)=0 \\

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x^2+y^2\le y_0^2 \\ z=z_0 \end{array} \right. \end{equation}$$ \\ f(\sqrt{x^2+y^2},z) = 0 f(y,z)=0{x2+y2≤y02​z=z0​​​​f(x2+y2 ​,z)=0

积分域图像

积分域图像

>> [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8);
>> Z = sqrt(X.^2+Y.^2);
>> mesh(X,Y,Z)
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接力题典

入门

1. 与极限结合

基础

1. 换元