瑞利商（Rayleigh quotient）与广义瑞利商（genralized Rayleigh quotient）_广义瑞利商的最优解

我们首先来看看瑞利商的定义。瑞利商是指这样的函数$R(A,x)$:
$$R(A,x)=\frac{x^{H}Ax}{x^{H}x}$$

其中$x$为非零向量，而$A$为n×n的Hermitan矩阵。所谓的Hermitan矩阵就是满足共轭转置矩阵和自己相等的矩阵，即$A^H=A$。如果我们的矩阵A是实矩阵，则满足$A^T=A$的矩阵即为Hermitan矩阵。

瑞利商$R(A,x)$有一个非常重要的性质，即它的最大值等于矩阵$A$最大的特征值，而最小值等于矩阵$A$的最小的特征值，也就是满足:
$$\lambda min\le \frac{x^{H}Ax}{x^{H}x}\le \lambda max$$
具体的证明这里就不给出了。当向量$x$是标准正交基时，即满足$x^{H}x=1$时，瑞利商退化为：$R(A,x)=x^{H}Ax$，这个形式在谱聚类和PCA中都有出现。

以上就是瑞利商的内容，现在我们再看看广义瑞利商。广义瑞利商是指这样的函数$R(A,B,x)$ :
$$R(A,x)=\frac{x^{H}Ax}{x^{H}Bx}$$
其中$x$为非零向量，而$A,B$为n×n的Hermitan矩阵。B为正定矩阵。它的最大值和最小值是什么呢？其实我们只要通过将其通过标准化就可以转化为瑞利商的格式。我们令$x=B^{-\frac{1}{2}}x\prime$,则分母转化为：
$$x^{H}Bx=x{\prime }^H(B^{-\frac{1}{2}}{)}^{H}B{B}^{-\frac{1}{2}}x\prime =x{\prime }^H{B}^{-\frac{1}{2}}B{B}^{-\frac{1}{2}}x\prime =x{\prime }^{H}x\prime$$
而分子转化为：
$$x^{H}Ax=x{\prime }^H{B}^{-\frac{1}{2}}A{B}^{-\frac{1}{2}}x\prime$$

此时我们的$R(A,B,x)$转化为$R(A,B,x\prime )$ :
$$R(A,B,x\prime )=\frac{x{\prime }^H{B}^{-\frac{1}{2}}A{B}^{-\frac{1}{2}}x\prime }{x{\prime }^{H}x\prime }$$

利用前面的瑞利商的性质，我们可以很快的知道，$R(A,B,x\prime )$的最大值为矩阵$B^{-\frac{1}{2}}A{B}^{-\frac{1}{2}}$ 的最大特征值，或者说矩阵$B^{-1}A$的最大特征值，而最小值为矩阵$B^{-1}A$的最小特征值。即对矩阵进行标准化。