洛谷刷题笔记——P1120 小木棍_洛谷p1120

参考资料

• https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P1120

题目描述

乔治有一些同样长的小木棍，他把这些木棍随意砍成几段，直到每段的长都不超过 $50$。

现在，他想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己开始时有多少根木棍和它们的长度。

给出每段小木棍的长度，编程帮他找出原始木棍的最小可能长度。

输入格式

第一行是一个整数 $n$，表示小木棍的个数。
第二行有 $n$ 个整数，表示各个木棍的长度 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

9
5 2 1 5 2 1 5 2 1
1
2

样例输出 #1

6
1

提示

对于全部测试点，$1\le n\le 65$，$1\le a_i\le 50$。

思路

搜索

定义cnt表示原始木棍的数量，len表示每根原始木棍的长度，sum表示木棍的总长度。

定义状态(num, pre, last)，其中num表示当前正在拼的原始木棍的编号，pre表示上一个使用的小木棍的编号，last表示当前原始木棍的剩余长度。

• 如果last为0，说明当前原始木棍已经拼接完成。此时，如果有num和cnt相等，说明所有木棍拼接成功；如果num和cnt不相等，则继续拼接下一个原始木棍。
• 如果last不为0，则选择尚未使用的小木棍来拼接该原始木棍。

优化

优化1：仅需要考虑len <= sum/2的情况。

优化2：当前状态为：完成了某个原始木棍的拼接，准备进入下一个原始木棍的拼接。在这一状态下，我们选取一根最长的、尚未使用过的小木棍来进行拼接，如果拼接失败，则无需再考虑其他木棍，直接从当前状态返回。这是因为，所有未使用过的小木棍最终都要被用来拼接成原始木棍，所以选择先从哪根小木棍开始都是一样的。也就是说，当前状态并不能导出拼接成功的状态。

优化3：当前状态为：尚未完成该原始木棍的拼接，且选择了一个长度恰好为last的小木棍。如果上述选择导致拼接失败，则无需再考虑其他小木棍，直接从当前状态返回。这是因为，如果当前状态能导出一个拼凑完成的状态，那么这个长度为last的木棍在之后也必须要被使用。显然，在剩余小木棍较多的当前状态下，选择长度为last的小木棍都不能完成拼接，在后面剩余小木棍更少的状态下，度为last的小木棍一定也不能完成拼接。也就是说，当前状态并不能导出拼接成功的状态。

优化4：使用二分查找的方法，找到第一个长度<= last的小木棍的编号，然后从该编号开始选择。需要特别注意的是，二分查找的左边界可以优化为pre+1。

优化5：预处理Next[x]数组，存储第一个长度< x的小木棍的下标。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 70
using namespace std;

int n;
int a[maxn];
int sum = 0;
int M = 0;
int m = 0;
bool vis[maxn];
int Next[maxn];
bool flag = false; 
int cnt, len;

bool cmp(int x, int y){
	return x>y;
} 

//num：当前正在拼的是第几个原木棍 
//pre：上一个使用的小木棍的编号
//last：拼完这个原木棍，还需要的长度 
void dfs(int num, int pre, int last){
	//当前原木棍拼成功了 
	if(last==0){
		//所有木棍拼凑成功 
		if(num==cnt){
			flag = true;
			return;
		}
		else{
			for(int i=1;i<=n;i++){
				if(vis[i]) continue;
				vis[i] = true;
				dfs(num+1, i, len-a[i]);
				vis[i] = false;
				if(flag) return;
				return;		//优化2 
			}
		}
	} 
	else{
		//二分查找第一个长度小于剩余长度的小木棍
		int L=pre+1, R=n, mid, pos=n;
		while(L<=R){
			mid = (L+R)>>1;
			if(a[mid]<=last){
				pos = mid;
				R = mid-1;
			}
			else{
				L = mid+1;
			}
		} 
		for(int i=pos;i<=n;i++){
			if(vis[i]) continue;
			vis[i] = true;
			dfs(num, i, last-a[i]);
			vis[i] = false;
			if(flag) return;
			if(last==a[i]) return;
			if(a[i]==m) continue;		//优化3 
			else i = Next[a[i]]-1;
		} 	
	} 
} 

int main(){
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		sum += a[i];
	}
	sort(a+1, a+n+1, cmp);
	M = a[1];
	m = a[n];
	//预处理next
	int temp = a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(a[i]!=temp){
			Next[temp] = i;
			temp = a[i];
		}
	}
	for(int k=M;k<=sum/2;k++){
		if(sum-(sum/k)*k!=0) continue;
		flag = false;
		vis[1] = true;
		cnt = sum/k;
		len = k;
		dfs(1, 1, k-a[1]);
		vis[1] = false;
		if(flag){
			cout<<k;
			return 0;
		}
	}
	cout<<sum;
	return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100