图像频域增强：低通滤波器_频率平面原点到(u,v)的距离是什么

频域低通滤波

低通滤波器的功能是削弱或消除高频分量而保留低频分量。

理想低通滤波器

理想低通滤波器，模拟上容易实现，物理上无法实现。

转移函数定义：
H ( u , v ) = { 1 ， D ( u , v ) < = D 0 0 ， D ( u , v ) > D 0 H(u, v) = \left\{

$$\begin{aligned} & 1， D(u, v) <= D_0 \\ & 0，D(u, v) > D_0 \end{aligned}$$ \right. H(u,v)={​1，D(u,v)<=D0​0，D(u,v)>D0​​

• $D(u,v)$ : 是点(u, v)到频率平面原点的距离,也就是点(u,v)到频谱中心的欧氏距离。
• $D_0$ : 带通半径。

巴特沃斯低通滤波器

巴特沃斯低通滤波器是物理上可实现的,高低频之间的过渡比较平滑。

转移函数定义为:

$$H(u,v)=\frac{1}{1+[\frac{D(u,v)}{D_0}{]}^{2n}}$$

• $D_0$ : 常用的截断频率为：$D_{max}(u,v)\times \frac{1}{\sqrt{2}}$

高斯低通滤波器

$$H(u,v)=e^{\frac{-{D(u,v)}^2}{2{D_0}^2}}$$

Opencv+Numpy实现低通滤波

import cv2 as cv
import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
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img = cv.imread('./images/kxxx.png')
img = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2RGB)
img_gray = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_RGB2GRAY)
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测试用例(美剧杀出个黎明):

傅里叶变换：

dft = cv.dft(img_gray.astype('float32'),flags = cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)           # 傅里叶变换(Opencv是用深度为2数组表示复数)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)                                                 # 移动零频分量
magnitude_spectrum = cv.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1])
log_magnitude_spectrum = 20*np.log(magnitude_spectrum)  # 幅值对数变换
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理想LPF

H ( u , v ) = { 1 ， D ( u , v ) < = D 0 0 ， D ( u , v ) > D 0 H(u, v) = \left\{

$$\begin{aligned} & 1， D(u, v) <= D_0 \\ & 0，D(u, v) > D_0 \end{aligned}$$ \right. H(u,v)={​1，D(u,v)<=D0​0，D(u,v)>D0​​

def lpf(dft_shift, r=100):
    m, n, _ = dft_shift.shape
    center = (m//2, n//2)
    mask = np.zeros_like(dft_shift)
    x_arr = np.concatenate([np.arange(m).reshape(m, 1)], axis=1)
    y_arr = np.concatenate([np.arange(n).reshape(1, n)], axis=0)
    dist = np.sqrt((x_arr - center[0])**2 + (y_arr - center[1])**2)
    mask[dist <= r] = 1
    return mask
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huv = lpf(dft_shift)                        # 转移函数（算子/模)
lpf_dft_shift = dft_shift * huv             # 低通滤波
lpf_magnitude_spectrum = cv.magnitude(lpf_dft_shift[:,:,0], lpf_dft_shift[:,:,1])
log_lpf_magnitude_spectrum = 20*np.log(lpf_magnitude_spectrum+1) # 幅值对数变换
lpf_dft = np.fft.ifftshift(lpf_dft_shift)         # 还原频谱图
img_ = cv.idft(lpf_dft)                           # 逆傅里叶变换
img_lpf = cv.magnitude (img_[:,:,0],img_[:,:,1])  # 还原图像
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理想转移函数

滤波效果：

巴特沃斯低通滤波

$H(u,v)=\frac{1}{1+[\frac{D(u,v)}{D_0}{]}^{2n}}$

def bw_lpf(dft_shift, r=100, N=1):
    m, n, _ = dft_shift.shape
    center = (m//2, n//2)
    mask = np.ones_like(dft_shift)
    x_arr = np.concatenate([np.arange(m).reshape(m, 1)], axis=1)
    y_arr = np.concatenate([np.arange(n).reshape(1, n)], axis=0)
    dist = np.sqrt((x_arr - center[0])**2 + (y_arr - center[1])**2).reshape(m, n, 1)
    mask = 1/(1+(dist/r)**(2*N))
    return mask
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巴特沃斯转移函数

高斯低通滤波

$H(u,v)=e^{\frac{-{D(u,v)}^2}{2{D_0}^2}}$

def gaussian_lpf(dft_shift, r=100):
    m, n, _ = dft_shift.shape
    center = (m//2, n//2)
    x_arr = np.concatenate([np.arange(m).reshape(m, 1)], axis=1)
    y_arr = np.concatenate([np.arange(n).reshape(1, n)], axis=0)
    dist_square = np.sqrt((x_arr - center[0])**2 + (y_arr - center[1])**2).reshape(m, n, 1)
    mask = np.exp(-1*dist_square/(2*r*r))
    return mask
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高斯转移函数

从测试的结果可以看出，在屏蔽部分高频分量后，图像开始变得有些模糊。以及在相同的带通半径下，巴特沃斯滤波器最接近理想低通滤波器。