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我们现在将推导一个给定观测值是引导样本一部分的概率。假设我们从n个观测值中获得一个引导样本。
(a) 第一个引导观测值不是原始样本中第j个观测值的概率是多少?请证明你的答案。
(b) 第二个引导观测值不是原始样本中第j个观测值的概率是多少?
(c) 论证原始样本中第j个观测值不在引导样本中的概率是(1 − 1/n)^n。
(d) 当n = 5时,第j个观测值在引导样本中的概率是多少?
(e) 当n = 100时,第j个观测值在引导样本中的概率是多少?
(f) 当n = 10,000时,第j个观测值在引导样本中的概率是多少?
回答:
(a) 第一个引导观测值不是原始样本中第j个观测值的概率: 每个观测值被选中的概率是1/n。因此,第j个观测值不被选中的概率是1 - 1/n。
(b) 第二个引导观测值不是原始样本中第j个观测值的概率: 由于每次选择都是独立的,第二次选择和第一次选择相同,因此概率也是1 - 1/n。
k折交叉验证的实现步骤:
通过这种方式,可以有效利用数据进行模型评估和调优,减少过拟合的风险。
(b) k折交叉验证相对于其他方法的优点和缺点:
i. 相对于验证集方法:
假设我们使用某种统计学习方法对特定的预测变量X进行响应Y的预测。请详细描述如何估计我们预测的标准差。
回答:
为了估计对响应 YYY 的预测的标准差,我们可以采用以下步骤:
使用训练集训练模型:使用现有的数据训练一个统计学习模型,得到预测模型 f^(X)\hat{f}(X)f^(X)。
获取多次预测:为了估计预测的标准差,可以采用重采样方法,例如引导法(bootstrap)或k折交叉验证(k-fold cross-validation)来获得多个预测值。
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