完全背包问题中二维动态规划的遍历顺序问题_背包问题先后顺序不受影响

我在刷题的时候学习到了“完全背包”问题。但是当遇到“完全背包 + 排列数” 或者 “完全背包 + 组合数” 就不太确定到底是：先物品，再背包（就是横着）；还是 先背包，再物品，从小到大遍历（就是竖着） 进行遍历。
然后我搜索到这样的话：

结论一：

• 一般而言，先行或者先列都可以。但是有的不行。
  - 组合问题的遍历顺序是：先物品，再背包，从小到大遍历（就是横着）。
  先放物品的题目：零钱兑换 II
  - 排列问题的遍历顺序时：先背包，再物品，从小到大遍历（就是竖着）。
  先循环背包的题目：组合总和 Ⅳ
  - 如果排解和组合都可以，那就随便。如：零钱兑换

但经过我的实验发现：对于完全背包问题，二维 DP 可以无视顺序。上面这个顺序是对于代码简化后的一维 DP 。

组合示例

这里以 零钱兑换 II 题目为例子，按照一般的理论，需要 “先物品，再背包” 。但经过验证发现，无论是哪种顺序的遍历都可以。下面是代码，大家可以实测。

// 代码一：先 i 后 j 遍历
class Solution {
public:

    int change(int amount, vector<int>& coins) {        
        int dp[3001][5001] = {0};
        int n = coins.size();
        for(int i = 0; i <= n; i++)         dp[i][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= amount; j++ ) {                
                if(coins[i - 1] > j)        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else                        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]];
            }
        }

        return dp[n][amount];
    }
 
};

// 代码二：先 j 后 i 遍历
class Solution {
public:

    int change(int amount, vector<int>& coins) {        
        int dp[3001][5001] = {0};
        int n = coins.size();
        for(int i = 0; i <= n; i++)         dp[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= amount; j++) { // int i = 1; i <= n; i++
            for(int i = 1; i <= n; i++) {                
                if(coins[i - 1] > j)        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else                        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]];
            }
        }

        return dp[n][amount];
    }
 
};
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排列示例

组合总和 Ⅳ是典型的先循环背包的题目。但是经过我的实测发现，在使用二维数组的情况下，遍历顺序也是可以互换的。付代码：

// 代码1；
class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
                int dp[201][1001] = {0};
        int n = nums.size();
        for(int i = 0; i <= n; i++)         dp[i][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {  // int j = 1; j <= target; j++
            for(int j = 1; j <= target; j++) {
                for(int k = i; k > 0; k--) {
                    if(j - nums[k - 1] >= 0 && dp[i][j] < INT_MAX - dp[i][j - nums[k - 1]]) {
                        dp[i][j] += dp[i][j - nums[k - 1]];
                    }   
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
};


// 代码二：
class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
                int dp[201][1001] = {0};
        int n = nums.size();
        for(int i = 0; i <= n; i++)         dp[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= target; j++) {
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                for(int k = i; k > 0; k--) {
                    if(j - nums[k - 1] >= 0 && dp[i][j] < INT_MAX - dp[i][j - nums[k - 1]]) {
                        dp[i][j] += dp[i][j - nums[k - 1]];
                    }   
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
};
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大致的总结

其实，可以这么理解：“排列的难度” > “组合的难度”。所以在求排列的时候就不能像组合那样无脑查几个值就好，可能得要遍历已有表才行（这也是排列问题多一重循环的原因，排列问题多了第三重循环）。

另外，别人总结的应该也是没有错误的，那他们的结论是如何得到的呢？因为有人想在“排列”中节省一下，不使用第三重循环，就变成了以下的代码3。这个代码是不能够交换 i j 的遍历顺序的。但是代码2 是可以交换的。原因在于：上面的排列代码无论是代码1 还是 代码2，某个值 DP[i][j] 都是由其左上方矩阵中的值完全确定的，但是如果你想省去第三重循环，就得用左下方的值（如代码3），这个时候遍历的顺序肯定是无法交换的。

// 代码3
class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<vector<int>> dp(nums.size()+1, vector<int>(target+1,0));
        for(int i=0; i<nums.size()+1; i++)  dp[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j<= target; j++){
            for(int i = 1; i<=nums.size(); i++){
                  if(j >= nums[i-1] && dp[nums.size()][j-nums[i-1]] < INT_MAX - dp[i-1][j])    //防止溢出
                         dp[i][j] = dp[i-1][j]  + dp[nums.size()][j-nums[i-1]] ;      //更新量 = 不用当前值的方法数 + 包含当前值的方法数(囊括了重复的情况)
                  else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[nums.size()][target];
    }
};

链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/solutions/1755590/dong-tai-gui-hua-by-strange-6ouldntj-waip/
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